Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

5.2.6.Бесконечная производная функции.

Пусть задана функция f : A ! R; A R и x0 предельная точка множества A.

Напомним, что производная функции f, а также односторонние производные функции f, в точке x0 есть число и дифференцируемость функции в точке эквивалентна наличию производной в этой точке.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

В случае, если

lim f(x) - f(x0) = +1;

x!x0 x - x0

то, по определению 115, в точке x0 производ-

ной нет, но в точке (x0; f(x0)) 2 graff можно провести касательную к графику функции f,

которая параллельна оси Oy.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Иногда бывает удобно рассматривать так называемые “бесконечные производные”, но их использование как правило заранее оговаривается.

Определение 125. Если

lim f(x) - f(x0) = +1 (-1);

x!x0 x - x0

то говорят, что в точке x0 существует бесконечная производная, которая обозначается также f0(x0).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 126. Если

lim f(x) - f(x0) = +1 (-1);

x!x0-0 x - x0

то говорят, что в точке x0 существует бесконечная левая производная, которая обозначается также f-0 (x0).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 127. Если

lim f(x) - f(x0) = +1 (-1);

x!x0+0 x - x0

то говорят, что в точке x0 существует бесконечная правая производная, которая обозначается также f+0 (x0).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Наличие бесконечной (левой, правой) производной функции f в точке x0 означает, что к графику функции f в точке (x0; f(x0)) можно провести вертикальную касательную (левую вертикальную касательную, правую вертикальную касательную), но функция f недифференцируемая в точке x0..

В дальнейшем, если не оговорено против-

ное, мы будем рассматривать только конечные производные.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

ФУНКЦИЯ НЕДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ В

ТОЧКЕ Демонстрация показывает графики функций

(кроме x2 sin x1) недифференцируемых в нуле. Изменяя t, Вы можете увидеть, что в большинстве примеров, секущии не имеют конечного предела при t ! 0.

Интересное сравнение:

функция f(x) = x sin x1 непрерывна, но недифференцируема в нуле;

функция g(x) = x2 sin x1 непрерывна и дифференцируема в нуле;

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

5.3.Необходимое условие существования

производной.

Пусть f : A ! B; A; B R.

Теорема 72. Если f : A ! B имеет производную в точке x 2 A, то функция f непрерывна в этой точке.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Фиксируем произвольную предельную точку x0 2 A и придадим x0 приращение x такое, что x0 + x 2 A:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit