Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Легко показать, что левая (правая) про-

M0 (x0; f(x0)) 2 graff можно провести левую (правую) касательную и левая (правая) про-

изводная функции f в точке x0 совпадает с угловым коэффициентом левой (правой) касательной к графику функции f в точке

M0 (x0; f(x0)).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

В силу теоремы 52 об односторонних пределах имеет место следующая

f0(x0); необходимо и достаточно выполнение трех условий:

1.Существует f-0 (x0);

2.Существует f+0 (x0);

3.f-0 (x0) = f+0 (x0) = f0(x0).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

M0 (x0; f(x0)) 2 graff называется угловой точкой графика функции f (см. рис. 5.6).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

5.2.5.Механический смысл производной и

дифференциала.

Пусть некоторая материальная точка движется прямолинейно и задан закон её движения s = s(t), то есть известно расстояние s точки от некоторого начала отсчёта в каждый момент времени t.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак, в момент времени t0 пройденное расстояние равно s(t0), а в момент t0 + t расстояние равно s(t0 + t). Тогда за промежуток времени [t0; t0 + t] точка прошла путь

s(t0; t) := s(t0 + t) - s(t0). Отношение

s(t0; t) называют средней скоростью дви-

t

жения точки за промежуток времени [t0; t0 +

t].

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Средняя скорость движения на различных промежутках различна. Чем меньше промежуток времени t, тем точнее средняя скорость движения “характеризует” это движение в момент времени t0. Как определить мгновенную скорость v(t0) точки в момент времени t0?

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Из первого закона Ньютона следует, что реальная механическая система

за малый промежуток времени мало меняет свои параметры. В частности, скорость v(t) точки во все моменты времени t, близкие к моменту t0, должна быть близка к значению v(t0). Но в таком случае само движение на

промежутке времени [t0; t0 + t] должно мало отличаться от равномерного движения со

скоростью v(t0), причём тем меньше отличаться, чем меньше t.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Значит

s(t0 + t) - s(t0) = v(t0) t + o( t): (5.8)

Из соотношения (5.8) величина v(t0) находится однозначно:

t!0 t

поэтому как соотношение (5.8), так и равносильное ему соотношение (5.9) можно принять за определения величины v(t0) - мгновенной скорости точки в момент времени t0. Тогда, из определения производной следует, что v(t0) = s0(t0).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак, производная функции характеризует скорость изменения функции в рассматриваемой точке, а дифференциал функции доставляет наилучшую линейную аппроксимацию приращения функции в окрестности рассматриваемой точки. Более того, функции, описывающие движение реальной механической системы, предполагаются допускающими такую линейную аппроксимацию.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit