Определение 118. Если существует прямая MT, являющаяся предельным положением секущих MMn для каждой последовательности точек (Mn) ; Mn 2 L; сходящейся к точке M 2 L, то прямая MT называется касательной к кривой L в точке M 2 L.
S
КАСАТЕЛЬНАЯ
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Замечание. Следует иметь в виду, что не в каждой точке M кривой существует касательная. Такой случай изображён на рис. 5.3.
S
Прямая MT является предельным положением секущих MMn; а прямая MT является предельным положением секущих MMn: В
точке M 2 L касательную к кривой L провести нельзя.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 119. Если существует прямая MT, являющаяся предельным положением секущих MMn для каждой последовательности точек (Mn) ; Mn 2 L; Mn < M; сходящейся к точке M 2 L, то прямая MT называется
левосторонней касательной к кривой L в точке M 2 L.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 120. Если существует прямая MT, являющаяся предельным положением секущих MMn для каждой последовательности точек (Mn) ; Mn 2 L; M < Mn; сходящейся к точке M 2 L, то прямая MT называется
правосторонней касательной к кривой L в точке M 2 L.
ПРАВОСТОРОННЯЯ КАСАТЕЛЬНАЯ
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
5.2.2.Геометрический смысл производной и
дифференциала.
Пусть функция f : A ! R; A R непрерывная на A и имеет производную в точке x0 2 A. Построим график функции f. Фиксируем произвольную последовательность ( xn) ; xn 2 R n f0g сходящуюся к
нулю и такую, что точки M0 (x0; f(x0)) и Mn (x0 + xn; f(x0 + xn)) принадлежат графику функции f.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Обозначим через 'n угол наклона секущей M0Mn к оси Ox. Тогда
tg 'n = f(x0 + xn) - f(x0):xn
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Так как функция f имеет производную в точке x0, то, по определению Гейне, существует
lim tg 'n = lim f(x0 + xn) - f(x0) = f0(x0):xn
Обозначим через '; 0 ' < ; угол, тангенс которого равен f0(x0). Следовательно, прямая проходящая через точку M0 с углом наклона ' к оси Ox, является предельным положением секущих M0Mn, т.е. касательной к графику функции f в точке M0 (x0; f(x0)).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 
Серая прямая, проходящая через фиксированную красную и подвижную чёрную точки на графике функции, это секущая графика функции.
Протащите мышкой, с нажатой левой кнопкой, чёрную точку вдоль кривой. Обратите внимание: когда чёрная точка близка
к красной, то тангенс угла наклона секущей близок к значению производной f0(1).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Итак, если функция f имеет производную в точке x0, то существует касательная к графи-
ку функции f в точке M0 (x0; f(x0)) и f0(x0) равно тангенсу угла наклона касательной к
оси Ox (см. рис.5.4).
ГРАФИК ПРОИЗВОДНОЙ
Иллюстрация показывает связь между функцией и её производной на двух отдельных графиках. Зелёный вертикальный отрезок изображает значение тангенса наклона касательной в красной точке на графике функции.
Перемещая движок “x0” Вы рисуете график производной функции (справа), график которой изображён слева.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
