Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Итак,

f0 : B ! R; B A R:

Пусть g 2 A предельная точка множества A. Обозначим через x := g+ x 2 A. Тогда, если существует конечный предел, то

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Соотношение (5.3), в силу теоремы 28, можно переписать в эквивалентной форме

f(x) - f(g) = f0(g) + (x); x - g

где (x) бесконечно малая при x ! g; что в свою очередь равносильно соотношению

f(x) - f(g) = f0(g)(x - g) + o(x - g)

при x ! g; x 2 A; (5.4)

то есть дифференцируемости функции f в точке g.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание 1. Обозначение производной df(x)

dx

принадлежит Лейбницу. Позднее Лагранж предложил обозначать производную символом f0(x). В механике, кроме указанных символов, для обозначения производной от функции '(t) по времени t используется символ '(t).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 87. Показать, по определению 115, что, если f(x) = x ; 2 R, то

8x 2 dom f : (x )0 = x -1:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 88. Показать, по определению 115, что, если f(x) = ax; a > 0; a 6= 1, то

8x 2 dom f = R : (ax)0 = ax ln a:

Посмотрите графики функций f и f0

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Фиксируем произвольную точку x0 2 R: Тогда

!

Частный случай

8x 2 R : (ex)0 = ex:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 89. Показать, по определению 115, что, если f(x) = loga x; a > 0; a 6= 1, то

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Фиксируем произвольную точку x0 2 (0; +1): Тогда

!

!

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Частный случай

8x 2 (0; +1) : (ln x)0 = x1:

ПРОИЗВОДНАЯ Нажмите кнопки “tangent line” и “logarithmic”. Вы видите график логарифмической функции.

Нажмите кнопку “first derivative”. Появится график производной. Перемещайте красный маркер вдоль оси абсцисс.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit