Определение 113. Если существует конечный предел отношения приращения функции f в точке x0 2 A, предельной для множества A, вызванного приращением аргументаx, к приращению аргумента x при стремлении приращения аргумента к нулю, то он называется производной функции f в точке x0 и обозначается f0(x0) или dfdx(x0).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Итак, по определению 113,
f0(x0) := lim f(x0; x) 2 R:
x!0 x
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 70. Функция f : A ! R дифференцируема в точке x0 2 A, предельной для множества A, тогда и только тогда, когда функция f имеет производную в точке x0 2 A, причём
df(x0) = f0(x0) x:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство. Фиксируем x0 2 A и x0
придадим приращение x так чтобы x0 +
x 2 A:
Необходимость.
|
|
|
|
|
|
112 |
|
(fдифференцируема в точке x0) = |
|
|
|
x |
f(x ) = a |
|
|
|
f x |
+ |
x + o( x) |
|
( 0 |
|
) -при0 x |
! |
0 |
) = |
|
|
|
|
|
|
) |
|
f(x0+ x)-f(x0) |
|
= a + |
o( x) |
|
|
x |
x |
|
|
x 0 |
x |
= a = 9f0(x0) = a = |
|
|
f(x0+ x)-f(x0) |
113 |
|
|
112 |
df(x0) = f0(x0) x |
) |
) |
lim |
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Достаточность. |
|
|
|
|
|
= f0(x0) = |
|
9f0(x0) 2 R = |
|
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
113 |
|
|
|
f(x0+ x)-f(x0) |
|
|
|
28 |
f(x0+ x)-f(x0) |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= f (x ) + ( x); |
lim |
|
( x) = 0 |
|
|
= |
f(x0 + x) - f(x0) = f0(x0) x + ( x) x; |
|
|
|
) |
( x) |
|
0 при x |
|
0) = |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
! |
|
112 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
) |
f дифференцируема в точке x |
|
и df(x |
) = f |
(x |
|
x |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 114. Функция f : A ! R называется дифференцируемой на множестве
A; если она дифференцируема в каждой точке этого множества.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Если f(x) x, то f0(x) 1 и
dx = x;
т.е. дифференциал независимой переменной совпадает с её приращением.
Учитывая это равенство, получаем
df(x) = f0(x) dx:
Эта форма записи дифференциала называется инвариантной формой записи дифференциала. Запись дифференциала в виде
df(x) = f0(x) x
не является инвариантной.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
5.2.Производная функции.
Пусть задана f : A ! R; A R и x0 2 A предельная точка множества A: Дадим аргумен-
ту x приращение x так чтобы x0 + x 2 A:
Обозначим f(x0; x) := f(x0 + x) - f(x0)
и будем называть приращением функции f в точке x0, вызванное приращением аргу-
мента x.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 115. Если существует конечный предел отношения приращения функции f в точке x0, вызванного приращением аргумента x, к приращению аргумента x при стремлении приращения аргумента к нулю, то он называется производной функции f в точке x0 и обозначается f0(x0) или dfdx(x0).
Итак, по определению 115,
f0(x0) := lim f(x0; x) 2 R:
x!0 x
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Как следует из определения 115, произ-
водная функции f в точке x есть число, зависящее от рассматриваемого значения
x (но не зависящее от x). Вычисляя f0(x) в различных точках x 2 A, мы будем получать, вообще говоря, различные числа. Таким образом, производная функции f есть тоже функция, определённая на B A (В некоторых точках x 2 A производная может не существовать).
ПРОИЗВОДНАЯ 
Нажмите кнопку “tangent line”. Выберите одну из функций “polynomial”, “trigonometric” или “logarithmic”. Вы видите график выбранной функции.
Нажмите кнопку “first derivative”. Появится график производной. Перемещайте красный маркер вдоль оси абсцисс.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
