Пример 84 Найти точки разрыва функции
f(x) = sin x1 :
Определите тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. dom f = R n f0g: Шаг 2. x0 = 0:
Единственной конечной предельной точкой множества dom f = R n f0g не принадлежащей этому множеству, является точка x0 = 0: По определению 108 эта точка является единственной точкой разрыва функции f(x) = sin x1 :
Шаг 3. Определите тип точки разрыва x0 = 0 функции f(x) =
sin x1 :
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
lim sin
x!0
1
x
Пример 84 Найти точки разрыва функции
f(x) = sin x1 :
Определите тип точек разрыва функции. Решение. Шаг 1. dom f = R n f0g:
Шаг 2. x0 = 0:
Шаг 3. Точка x0 = 0 есть точка разрыва второго рода функции f(x) = sin x1 :
Покажем, по определению Гейне, что не существует и,
следовательно, по определению 110, точка x0 = 0 есть точка раз-
рыва второго рода функции f(x) = sin |
1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
последовательности xn |
= |
1 |
и |
xn |
= |
2 |
|
n |
(1+4n) |
сходятся к нулю, но f(xn) = sin (n ) = 0 |
! |
0, а |
f(xn ) = |
sin (2 + 2n ) = 1 |
! |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТОЧКА РАЗРЫВА ВТОРОГО РОДА
Движком “zoom” изменяйте масштаб по оси абсцисс.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 85. Найти точки разрыва функции
8
> sin (x-1);
>
< 3x3-3
f(x) =
>
> 3
: x -1 x2-1
;
Определить тип точек разрыва функции.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 85 Найти точки разрыва функции
|
> |
sin x-1) |
|
|
|
|
3x(3-3 |
; |
если x < 1; |
|
8 |
|
f(x) = |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3-1 |
|
если x > 1: |
|
> x2-1; |
|
|
: |
|
|
|
|
Определить тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. Функция f – кусочно - элементарная функция, определённая на множестве Rnf1g: В силу теоремы 66 о непрерывности элементарных функций, функция f непрерывна на интервалах (-1; 1) и (1; 1) элементарности функции f: Найдите конечные предельные точки области определения функции f не принадлежащие этому множеству.
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 85 Найти точки разрыва функции
|
> |
sin x-1) |
|
|
|
|
3x(3-3 |
; |
если x < 1; |
|
8 |
|
f(x) = |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3-1 |
|
если x > 1: |
|
> x2-1; |
|
|
: |
|
|
|
|
Определить тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. x0 = 1:
Единственной конечной предельной точкой множества (-1; 1)[ (1; 1); не принадлежащей этому множеству, является точка x0 = 1: По определению 108 эта точка является единственной точкой разрыва функции f:
Шаг 2. Определите тип точки разрыва x0 = 1 функции f: Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 85 Найти точки разрыва функции
|
> |
sin x-1) |
|
|
|
|
3x(3-3 |
; |
если x < 1; |
|
8 |
|
f(x) = |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3-1 |
|
если x > 1: |
|
> x2-1; |
|
|
: |
|
|
|
|
Определите тип точек разрыва функции. Решение.
Шаг 1. x0 = 1:
Шаг 2. Точка x0 = 1 есть точка разрыва 1-го рода функции f:
Найдём односторонние пределы:
|
sin (x-1) |
3:20:1:1 |
|
sin (x-1) |
|
1 |
|
|
|
|
и |
|
3 |
-1 |
3:19:4:1 |
lim |
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
= |
1 |
lim x |
= |
3x3-3 |
|
x-1 |
3(x2+x+1) |
x 1-0 |
|
x 1-0 |
9 |
x 1+0 x2-1 |
lim |
(x-1)(x2+x+1) |
= 3: |
|
|
|
|
определению 109, точка |
(x-1)(x+1) |
|
|
|
|
|
x!1+0 |
|
2!Следовательно, по |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 = 1 есть точка разрыва 1-го рода функции f:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 86. Найти точки разрыва функции
r
f(x) = - sin2 x:
Определить тип точек разрыва функции.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 86 Найти точки разрыва функции |
|
|
|
|
|
f(x) = r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- sin2 |
x: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить тип точек разрыва функции. |
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 1. Функция f(x) = |
- sin2 x – элементарная функция и не |
указана область |
определения этой функции. Согласно соглаше- |
|
|
q |
|
|
|
|
|
нию о области определения элементарных функций (см. раздел |
|
|
|
|
|
3.7), функция f(x) = |
- sin2 определена в естественной обла- |
сти определения – |
|
x |
|
|
|
|
|
qf: Причём, в силу теоремы 66 о непрерыв- |
|
|
dom |
|
|
|
|
|
|
|
|
ности элементарных функций, функция f(x) = - sin2 |
непре- |
рывна на dom f: |
|
|
|
|
|
|
q |
x |
Найдите dom f и перейдите на следующую страницу. |
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 86 Найти точки разрыва функции
|
|
f(x) = r- sin2 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
Определить тип точек разрыва функции. |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 1. dom f = fxk = k1; k = 1; 2; : : :g: |
|
|
|
|
|
|
|
dom f = fx 2 R j |
sin2 |
|
= 0g = |
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
fx 2 R j |
|
= n ; n 2 Zg = fxn = |
|
; n 2 Zg: |
x |
n |
Следовательно, dom f – множество изолированных точек. |
Шаг 2. Найдите конечные предельные точки множества dom f = fxn = n1 ; n 2 Zg не принадлежащие этому множеству.
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
