Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Лемма 10. Каждая равномерно непрерывная на множестве A функция непрерывна на множестве A.

Это следует непосредственно из определения равномерной непрерывности.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 67. (теорема Гейне-Кантора). Вещественная функция f : K ! R, непрерывная на замкнутом, ограничен- ном множестве K Rk; равномерно непрерывна на K.

Доказательство теоремы опустим.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

4.7.2.Непрерывность обратной функции.

Теорема 68. Пусть функция f есть вещественная функция, строго монотонная и непрерывная на отрезке [a; b]: Тогда обратная функция f-1 строго монотонна и непрерывна на отрезке [c; d] = f([a; b]):

Доказательство теоремы опустим.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

4.7.3.Точки разрыва функции. Классификация точек

разрыва.

Теорема 69. Пусть f - вещественная функция, определенная на отрезке [a; b] R, и x0 2 (a; b) внутренняя точка множества [a; b]:

Тогда для того, чтобы f была непрерывна в точке x0; необходимо и достаточно выполнение трех условий:

1. Существует левосторонний предел lim f(x);

x!x-0

2. Существует правосторонний предел lim f(x);

x!x+0

3. Оба односторонних предела равны f(x0):

Эта теорема является следствием теоремы 52

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 108. Пусть функция

f : A ! B; A; B R

и A0 - предельные точки множества A. Конечная точка x0 2 A0 называется точкой разрыва функции f, если:

1.Функция не определена в точке x0; или

2.Функция определена в точке x0; но не является непрерывной в точке x0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Заметим, что определение 108 не являет-

x0 2 A”. Понятие непрерывности функции точке определено только для точек из области определения функции. К точкам разрыва функции одной переменной относят также конечные предельные точки области определения функции, в которых значения

функции не заданы .

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Отметим, что график функции f : [a; b] ! R непрерывной на сегменте [a; b] есть непрерывная кривая в пространстве R2, соединяющая две точки (a; f(a)) и (b; f(b)).

ФУНКЦИЯ НЕПРЕРЫВНАЯ НА СЕГМЕНТЕ

Последовательность Ваших действий:

"continuity"

"click for a problem"

подберите "a"так чтобы функция f была непрерывной всюду.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 109. Пусть x0 - точка разрыва функции f : A ! B; A; B R. Если существуют конечные односторонние пределы

lim f(x); lim f(x); x!x0-0 x!x0+0

то x0 называется точкой разрыва первого

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 110. Пусть x0 - точка разрыва функции f : A ! B; A; B R. Если хотя бы один из односторонних пределов

lim f(x); lim f(x); x!x0-0 x!x0+0

не существует или равен 1(+1; -1), то x0

называется точкой разрыва второго рода. S

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 111. Пусть x0 - точка разрыва функции f : A ! B; A; B R. Если существуют конечные односторонние пределы

lim f(x); lim f(x) x!x0-0 x!x0+0

и

lim f(x) = lim f(x); x!x0-0 x!x0+0

то x0 называется точкой устранимого разрыва функции.

S

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit