Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление
.pdf
11. 8x 2 R : x x;
(рефлексивность отношения порядка);
12.8x; y 2 R : ((x y) ^ (y x)) =) (x = y); (антисимметричность отношения порядка);
13.8x; y; z 2 R : ((x y) ^ (y z)) =) (x z); (транзитивность отношения порядка);
14.8x; y; z 2 R : ((x y) =) (x + z y + z); (согласованность порядка с операцией сложения);
15.8x; y; z 2 R : ((x 0) ^ (y z)) =) (x y x z); (согласованность порядка с операцией умножения);
16.8x; y 2 R 9n 2 N такое, что
((x > 0) ^ (y > 0)) =) (n x > y);
(аксиома Архимеда);
17. 8x; y 2 R 9r 2 Q такое, что
(x < y) =) (x < r < y)
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
(плотность множества рациональных чисел во множестве вещественных чисел).
Определение 2. Абсолютной величиной (модулем) вещественного числа a, обозначение jaj, называется неотрицательное число, равное a, если a 0, и равное -a, если a < 0.
Отметим следующие свойства модуля вещественного числа:
1.8a 2 R : jaj = max fa; -ag;
2.8a 2 R : a jaj;
3.8a; b 2 R : ja + bj jaj + jbj;
-модуль суммы чисел не больше суммы их модулей; 4. 8a; b 2 R : ja bj = jaj jbj;
-модуль произведения чисел равен произведению их модулей; 5. 8a 2 R; 8b 2 R n f0g : ab = jjabjj;
-модуль частного равен частному модулей;
6. 8a; b 2 R : ja - bj jjaj - jbjj :
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Множество вещественных чисел можно дополнить символами +1 (читается: ’Плюс бесконечность’), -1 (читается: ’Минус бесконечность’). Операции с этими символами определяются следующим образом:
1.8a 2 R : -1 < a < +1;
2.8a 2 R : a + ( 1) = 1;
3.8a 2 R : a - ( 1) = 1;
4.(+1) + (+1) = +1;
5.(-1) + (-1) = -1;
6.8a 2 (0; +1) : a ( 1) = 1;
7.8a 2 (-1; 0) : a ( 1) = 1;
8.(+1) (-1) = (-1) (+1) = -1;
9.(+1) (+1) = (-1) (-1) = +1;
10.8a 2 R : a1 = 0;
11.8a 2 (0; +1) : a1 = 1;
12.8a 2 (-1; 0) : a1 = 1.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Операции
(+1) - (+1); (+1) + (-1); (-1) - (-1);
00;
11;
0 ( 1)
10
11
не определены.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
1.4. |
Линейные пространства. |
Термин "пространство"по существу эквива- |
|
лентен термину "множество". Отличие со- |
|
стоит в том, что термин пространство "в чи- |
|
стом виде"употребляется редко, а чаще все- |
|
го в сочетании с другими терминами, напри- |
|
мер: топологическое пространство, линейное |
|
пространство, метрическое пространство и |
|
т.д. На следующей схеме показаны некото- |
|
рые из изучаемых в математике пространств. |
|
Стрелки имеют следующий смысл: то про- |
|
странство на которое указывает стрелка яв- |
|
ляется частным случаем того, из которого |
|
она "исходит". |
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit |
1.4.1.Определение линейного пространства.
Пусть L - множество элементов произвольной природы.
Определение 3. Говорят, что на множестве L введена линейная структура, если на нём определены две операции:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
1. Операция сложения, позволяющая для любых двух x; y 2 L построить третий элемент из L, называемый суммой элементов
иобозначаемый x + y;
2.Операция умножения элемента из L на число, позволяющая построить для любого x 2 L и 8 2 R элемент из L, называемый произведением x на число и обозначаемый
x.
При этом операции должны удовлетворять аксиомам:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
1. Операция сложения, позволяющая для любых двух x; y 2 L построить третий элемент из L, называемый суммой элементов
иобозначаемый x + y;
2.Операция умножения элемента из L на число, позволяющая построить для любого x 2 L и 8 2 R элемент из L, называемый произведением x на число и обозначаемый x.
При этом операции должны удовлетворять аксиомам:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
1. Операция сложения, позволяющая для любых двух x; y 2 L построить третий элемент из L, называемый суммой элементов
иобозначаемый x + y;
2.Операция умножения элемента из L на число, позволяющая построить для любого x 2 L и 8 2 R элемент из L, называемый произведением x на число и обозначаемый x.
При этом операции должны удовлетворять аксиомам:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
1. 8x; y 2 L : x + y = y + x
(переместительный или коммутативный закон сложения);
2. 8x; y; z 2 L : (x + y) + z = x + (y + z)
(сочетательный или ассоциативный закон сложения);
3.90 2 L такой, что 8x 2 L : x + 0 = x
( аксиома существования нулевого элемента);
4.8x 2 L 9y 2 L такой, что x + y = 0
(y называется противоположным элементом и обозначается (-x));
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit