maxx2[a;b] f(x):
Доказательство. Фиксируем произвольное g; c < g < d: По теореме 62 существуют
точки x1; x2 2 [a; b] такие, что f(x1) = c = minx2[a;b] f(x) и f(x2) = d =
Отрезок I с концами x1; x2 лежит в сегменте [a; b]; поэтому функция '(x) = f(x) - g определена, непрерывна на I и, поскольку
'(x1) '(x2) = (c - g)(d - g) < 0; то, в силу теоремы 61, между x1 и x2 найдётся точка
x3; в которой '(x3) = f(x3) - g = 0: Следовательно, f(x3) = g: Из выделенного синим
цветом следует утверждение теоремы.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
4.7. Функции многих переменных непрерывные на множестве.
Пусть f : A ! B; A Rk; B R:
Теорема 64. (Вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f : K ! B; K Rk; B R непрерывна на замкнутом, ограниченном множестве K Rk, то она принимает в некоторых точках K минимальное и максимальное из своих значений на K:
Доказательство теоремы опустим.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 105. Множество A Rk называется связным, если для любой пары его точек существует кривая ([a; b]) A с концами в этих точках.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 106. Областью в пространстве Rk называется открытое, связное множество.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 65. Если функция f : A ! R; A Rk, непрерывная в области A, принимает в точках x1; x2 2 A значения разных знаков, то существует точка x3 2 A такая, что f(x3) = 0.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство. Пусть : [; ] ! A
непрерывная параметризация кривой с началом в точке x1 = ( ) и концом в точке x2 =
( ): В силу связности A такая кривая существует. Функция f : [; ] ! R как композиция непрерывных функций непрерывна на [; ] (см. теорему 55). Поэтому, в силу теоремы 61, на отрезке [; ] найдётся точка
2 [; ], в которой f ( ) = 0: Положим
x3 = ( ): Тогда x3 2 A и f(x3) = 0:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 66. Каждая элементарная функция непрерывна в своей естественной области определения.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство.
Приведём схему доказательства теоремы:
1.Покажем, что всефундаментальныефункции непрерывныв своихестественныхобластях определения.
2.В силу леммы5, каждаяэлементарнаяфункция непрерывнаво всехизолированныхточках своихестественныхобластей определения.
3.В силу теорем55, 57, 58 и 59, каждаяэле- ментарнаяфункциянепрерывнаво всехпредель- ных точках своихестественныхобластей определения.
Подробное доказательство предлагаем провести самостоятельно.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
4.7.1.Равномерная непрерывность.
Пусть f : A ! B; A Rk; B R; f непрерывна на A. Фиксируем " > 0: Для каждой точки x 2 A выберем (x) > 0 так, чтобы
f U (x)(x) U"(f(x)):
Найдется ли ; подходящее сразу для всех x? Ответ – Есть примеры когда ; подходящее сразу для всех x 2 A; не существует, но также есть примеры когда ; подходящее сразу для всех x 2 A; удаётся найти.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 107. Пусть
f : A ! B; A Rk; B R:
Говорят, что f равномерно непрерывна на множестве A, если 8" > 0 9 = (") > 0
такое, что 8x1; x2 2 A, и d(x1; x2) < : jf(x1) - f(x2)j < ":
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
