Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

4.5.Отображения непрерывные на

множестве.

Пусть

f : A ! B; A Rn; B Rk:

Определение 102. Отображение f : A ! B

называется непрерывным на множестве

C A, если оно непрерывно в каждой точке множества C A.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 103. Отображение f : A ! B

называется ограниченным на множестве

C A, если f(C) Rk ограниченное.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 60. (Первая теорема Вейерштрасса). Если отображение

f : K ! B; K Rn; B Rk

непрерывно на замкнутом, ограниченном множестве K Rn, то оно ограничено на K:

Доказательство этой теоремы опустим.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 104. Образ отрезка [a; b] R

при отображении : [a; b] ! Rk называется

кривой в пространстве Rk если:

1. отображение : [a; b] ! Rk непрерывно на

[a; b];

2. отображение [a; b] ! ([a; b]) биекция (взаимно однозначное).

При этом точки (a); (b) 2 Rk называют

началом и концом кривой, а отображение: [a; b] ! Rk называют параметризацией кривой.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание. При движении по кривой мы не возвращаемся в ранее пройденные точки, т.е. не пересекаем свою траекторию нигде, кроме, быть может, её конца. При этом устанавливается естественный порядок: предыдущая точка < последующей точки.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

4.6.Непрерывные функции одной

переменной.

Теорема 61. (об обращении непрерывной функции в нуль). Пусть функция

f : [a; b] ! R

непрерывна на сегменте [a; b]:

Если f(a)f(b) < 0; то существует c 2 (a; b) такая, что f(c) = 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Для доказательства используем

МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ

Делим отрезок [a; b] пополам. Если в точке деления функция не равна нулю, то на концах одного из двух полученных в результате деления отрезков функция снова принимает значения разных знаков.

С этим отрезком поступаем теперь так же, как и с исходным отрезком [a; b], т.е. делим его пополам.

Продолжаем этот процесс деления до тех пор пока либо на каком-то шаге получим точку деления c 2 (a; b), где f(c) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю. В последнем случае на основании леммы 4 о вложенных отрезках найдётся единственная точка c 2 (a; b), общая для всех этих отрезков.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

По построению существуют две последова-

тельности (xn0 ) и (xn00) концов вложенных отрезков такие, что

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 62. (Вторая теорема Вейерштрасса). Пусть непрерывная вещественная функция f задана на замкнутом, ограниченном множестве K R:

Тогда f принимает на множестве K свое наибольшее значение и свое наименьшее значение.

Доказательство теоремы опустим.

ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА

Посмотрите иллюстрацию к теореме Вейерштрасса.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 63. Пусть f - непрерывная вещественная функция, определенная на [a; b] R: Тогда образ отрезка [a; b] при отображении f также есть отрезок [c; d], где

c = min f(x); d = max f(x):

x2[a;b] x2[a;b]

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit