Положим " = |
g(x0) |
> 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(g непрерывна в точке x ) = |
|
9U (x0) такая, что 8x 2 A \ U (x0) : jg(x) - g(x0)0j < )" |
= |
8 |
x |
2 |
A |
\ |
U (x0) : g(x0) - " < g(x) < g(x0) + " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x0) |
|
|
) |
|
= |
|
|
x |
A |
\ |
U (x0) : 0 < |
|
|
< g(x) : |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
8 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
выделенного синим цветом следует, по |
Из |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определению 73, что функция g > 0 вблизи точки x0. 
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Лемма 7. Пусть g : A ! B непрерывна в
точке x0 2 A и g(x0) < 0. Тогда g < 0 вблизи точки x0.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
74
x0) =)
Доказательство. |
|
|
|
=? |
(g(x0) < 0) |
x |
0 |
) |
(g непрерывна в точке |
|
) |
(g < 0 вблизи |
|
|
|
|
точки |
9U (x0) т.ч. 8x 2 A \ U (x0)
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Положим " = - |
g(x0) |
> 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(g непрерывна в точке x |
98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = |
|
9U (x0) такая, что 8x 2 A \ U (x0) : jg(x) - g(x0)0j < )" |
= |
8 |
x |
2 |
A |
\ |
U (x0) : g(x0) - " < g(x) < g(x0) + " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x0) |
|
|
|
) |
|
|
|
8 2 |
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
A |
U (x0) : g(x) < 2 |
|
|
|
|
x |
|
|
< 0 : |
Из |
выделенного |
синим цветом следует, |
по |
|
|
|
) |
|
|
определению 74, что функция g < 0 вблизи точки x0. 
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Лемма 8. Пусть g : A ! B непрерывна в
точке x0 2 A и g(x0) 6= 0. Тогда g 6= 0 вблизи точки x0.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство.
Если g(x0) > 0, то, в силу Леммы 6, g > 0 вблизи точки x0 и, следовательно, g 6= 0
вблизи точки x0.
Если же g(x0) < 0, то, в силу Леммы 7, g < 0 вблизи точки x0 и, следовательно, g 6= 0
вблизи точки x0.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Лемма 9. Пусть g : A ! B непрерывна в
точке x0 2 A.
Тогда функция g ограниченная вблизи точки x0.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство. |
|
() |
x x0 f(x) = f(x0) 2 R |
(g - непрерывна в точке x0 |
2 A) 53 |
! |
|
34 |
|
() |
lim |
|
|
(g - ограниченная вблизи точки x0) :
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 59. Пусть f; g : A ! R непрерыв-
ны в точке x0 2 A и g(x0) 6= 0.
Тогда частное gf : A ! R также непрерывно в точке x0 2 A.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство.
53
(f непрерывна в точке x0) ()
53
(g непрерывна в точке x0) ()
|
|
> |
lim |
|
> |
lim |
|
9 |
x x0 f(x) = f(x0) |
x !x |
0 |
|
> |
|
|
> |
|
|
= |
|
|
g(x) = g(x0) |
> |
!6 |
|
0 |
> |
|
> |
|
|
|
> |
|
|
|
> |
|
|
|
> |
(g = 0 вблизи точки x ) |
; |
|
|
|
|
= |
x x0 g(x) |
= g(x0) |
|
|
|
32 |
|
f(x) |
|
f(x0) |
|
g |
) |
lim |
|
|
0 |
|
! |
|
|
53 |
|
f |
непрерывна в точке x : |
() |
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
