Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Доказательство. Пусть x0 2 A есть предельная точка множества A: Так как для

каждого " > 0 f(x0) 2 U"(f(x0)); то имеет место

(f (A \ U (x0)) U"(f(x0))) ()

f A \ U (x0) U"(f(x0)) (4.1)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тогда

!

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание. Так как lim x = x0; то послед-

x!x0

ке x0; то знак функции f и знак предельного перехода можно менять местами.

Это свойство непрерывного отображения часто используется при нахождении пределов отображения.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 54. Пусть отображение

f : A ! B; A Rk; B Rm;

задано соотношением:

8x 2 A : x !f f1(x); f2(x); : : : ; fm(x) T 2 B;

где fi : A ! R; i = 1; 2; : : : ; m:

Отображение f : A ! B непрерывно в точке x0 2 A тогда и только тогда, когда каждая из функций fi : A ! R; i = 1; 2; : : : ; m, непрерывна в точке x0 2 A.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. а) В силу леммы 5, теорема очевидна в случаи когда x0 есть изолированная точка множества A:

б) Пусть x0 предельная точка множества A и (xn); xn 2 A; произвольная последовательность, сходящееся к точке x0: Тогда

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

4.2. Композиция непрерывных отображений.

Пусть f : A ! B; A Rk; B Rm и g : B ! C; C Rp:

Теорема 55. Пусть:

1.f : A ! B непрерывна в точке x0 2 A;

2.f(x0) = y0;

3.' : B ! C непрерывна в точке y0 2 B.

Тогда композиция ' f : A ! C непрерывна в точке x0.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Доказывать будем по определению непрерывности отображения в точке. Обозначим z0 = ' f(x0) и фиксируем

=)(8x 2 A \ U (x0) : ' f(x) 2 U"(' f(x0))) :

Из выделенного синим цветом следует, по определению 101, что композиция отображений ' f непрерывна в точке x0.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

4.3. Непрерывность функции в предельной точке.

Пусть f : A ! B; A Rk; B R и x0 есть предельная точка множества A; а x 2 A про-

извольная точка. Обозначим через x := x - x0 и будем называть приращением аргумента. Очевидно, что ( x ! 0) () (x ! x0) : Обозначим через f (x0; x) := f(x0 + x) - f(x0) и будем называть приращением функции f в точке x0; вызванное приращением аргумента x.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 56. Пусть

f : A ! B; A Rk; B R

и x0 есть предельная точка множества A:

Тогда для непрерывности функции f в точке x0 необходимо и достаточно выполнение равенства:

lim f (x0; x) = 0:

x!0

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit