Пример 79. Найти предел
j sin (1 - x)j lim x3 - 1 :
x 1-0
!
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 79 Найти предел
j sin (1 - x)j lim x3 - 1 :
x 1-0
!
Решение.
Шаг 1. Определите вид неопределённости. Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 79 Найти предел |
|
|
lim |
j sin (1-x)j |
: |
|
|
|
Решение. |
|
|
|
xj |
!1-0 |
|
x3-1 |
|
|
j sin |
|
|
|
|
|
lim |
|
(1 - x) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 - 1 |
|
|
= 0 |
|
|
x 1-0 |
|
|
|
|
Заменяя x на 1 в формуле |
j sin (1-x)j |
; получим |
|
|
! |
|
|
|
|
x3-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 : ( Обоснование правильности этого действия будет в разделе “Непрерывные функции”) .
Шаг 2. Избавьтесь от модуля. Выберите метод решения. Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 79 Найти предел |
lim |
j sin (1-x)j |
: |
|
|
Решение.sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
x!1-0 |
|
x3-1 |
|
|
(1 - x)j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
j |
|
0 |
|
3:2:6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 - 1 |
|
|
= 0 = |
|
|
|
|
|
x 1-0 |
|
|
|
|
|
|
|
! |
= |
lim |
sin (1 - x) |
= |
lim |
sin ( (x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
- 1 |
|
|
|
|
3 |
- 1 |
|
|
|
x!1-0 x |
|
|
|
|
|
|
x!1-0 x |
|
Метод решения: “Первый замечательный предел”.
Шаг 3.
Найдите бесконечно малую функцию (x). Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 79 Найти предел |
lim |
j sin (1-x)j |
: |
|
|
|
|
|
Решение.sin |
|
|
|
|
|
|
|
x!1-0 |
x3-1 |
|
(1 - x)j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
j |
|
|
0 |
|
3:2:6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x3 - 1 |
= 0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
1-0 |
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x |
lim |
sin ( (x)) |
|
|
lim sin (1 - x) |
|
|
|
|
|
|
! |
1-0 x3 - 1 = x |
! |
1-0 |
x3z -}|1 |
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 4. Организуйте первый замечательный предел.
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 79 Найти предел |
lim |
j sin (1-x)j |
: |
|
x3-1 |
Решение. |
|
|
x |
! |
1-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
j sin (1 - x)j |
0 3:2:6 |
|
|
sin ( (x)) |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
x |
x3 - 1 |
= 0 = |
x |
|
|
= |
! |
1-0 |
! |
1-0 x3 - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x)
z }| {
sin (1 - x)
x3 - 1
3:20:1:1 |
lim |
sin (1 - x) |
|
1 - x |
= |
x!1-0 |
|
|
|
|
1 - x |
x3 - 1 |
Первый замечательный предел:
|
|
lim |
sin ( (x)) |
= 1; где |
|
lim (x) = 0: |
|
|
(x) |
|
|
|
x |
! |
1-0 |
x |
1-0 |
x |
! |
1-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 5. Найдите |
lim |
1-x |
: |
|
|
3 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
! |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 79 Найти предел |
|
|
lim |
j sin (1-x)j |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1-0 |
|
|
|
x3-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
sin |
(1 - x)j |
|
0 |
3:2:6 |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
( (x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x3 - 1 |
= |
0 |
= |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
1-0 |
|
|
|
! |
1-0 x3 - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (1 - x) 3:20:1:1 |
|
|
|
|
sin (1 - x) 1 - x 3:20:1 |
1 |
|
|
|
|
lim |
|
|
x3z |
-}|1 { |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x |
|
|
|
|
|
= |
|
x |
|
|
|
1 - x x3 - 1 |
= - 3: |
! |
1-0 |
|
|
|
! |
1-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
1 - x |
0 |
|
10:18 |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1-0 x3 - 1 |
x 1-0 (x - 1)(x2 + x + 1) = |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
= - |
1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
x!1-0 x |
+ x + 1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: - |
1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 80. Показать, что не существует числа a 2 R такого, что
j sin (1 - x)j
x!1
lim x3 - 1 = a:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. Так как
lim |
j sin (1 - x)j |
= |
1 |
|
|
|
|
|
x |
3 |
- 1 |
3 |
x!1+0 |
|
|
|
|
(см. пример 78) и
lim |
j sin (1 - x)j |
= - |
1 |
|
|
|
|
x |
3 |
- 1 |
3 |
x!1-0 |
|
|
|
(см. пример 79), то, в силу теоремы 52, не существует числа a 2 R такого, что
j sin (1 - x)j
x!1
lim x3 - 1 = a:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
ТРЕНАЖЁР – ИНСТРУМЕНТ Найти предел
|
lim |
a0x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5 |
|
b0x5 + b1x4 + b2x3 + b3x2 + b4x + b5 |
|
x!g+0 |
ТРЕНАЖЁР – ИНСТРУМЕНТ Найти предел
|
lim |
a0x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5 |
|
b0x5 + b1x4 + b2x3 + b3x2 + b4x + b5 |
|
x!g-0 |
ТРЕНАЖЁР – ИНСТРУМЕНТ Найти предел
|
lim |
ja0x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5j |
|
b0x5 + b1x4 + b2x3 + b3x2 + b4x + b5 |
|
x!g+0 |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
