lim x!x-0
Доказательство. a) Необходимость.
Пусть lim f(x) = a: Зададимся произволь-
x!x0
ным " > 0: В силу определения предела по Коши, найдется такое > 0; что
f U (x0) \ A U"(a):
Так как (x0 - ; x0) U (x0); то
f ((x0 - ; x0) \ A) U"(a):
Из выделенного синим цветом следует, что f(x) = a: Аналогично показывается,
что lim f(x) = a:
x!x+0
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
b) Достаточность. Пусть условия (1-3) выполнены. Воспользуемся определениями предела и одностороннего предела по Коши. Зададим произвольное " > 0: Так как
lim f(x) = a; то найдется такое 1 > 0; что
x!x-0
f ((x0 - 1; x0) \ A) U"(a): Аналогично, так
как lim f(x) = a; то найдется такое 2 > 0;
x!x+0
что f ((x0; x0 + 2) \ A) U"(a):
Обозначим = minf 1; 2g:
Имеем: f ((x0 - ; x0) \ A) U"(a) и
f ((x0; x0 + ) \ A) U"(a):
Отсюда:f U (x0) \ A U"(a):
Из выделенного синим цветом следует, по
определению Коши, что lim f(x) = a:
x!x0
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Техника нахождения односторонних пределов такая же как и нахождения пределов. При этом, в силу теоремы 52, имеют место все замечательные пределы и их следствия при x ! ! + 0 и x ! ! - 0.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 78. Найти предел
j sin (1 - x)j lim x3 - 1 :
x 1+0
!
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 78 Найти предел
j sin (1 - x)j lim x3 - 1 :
x 1+0
!
Решение.
Шаг 1. Определите вид неопределённости. Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 78 Найти предел |
|
|
lim |
j sin (1-x)j |
: |
|
|
|
Решение. |
|
|
|
xj |
!1+0 |
|
x3-1 |
|
|
j sin |
|
|
|
|
|
lim |
|
(1 - x) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 - 1 |
|
|
= 0 |
|
|
x 1+0 |
|
|
|
|
Заменяя x на 1 в формуле |
j sin (1-x)j |
; получим |
|
|
! |
|
|
|
|
x3-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 : ( Обоснование правильности этого действия будет в разделе “Непрерывные функции”) .
Шаг 2. Избавьтесь от модуля. Выберите метод решения. Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 78 Найти предел |
lim |
j sin (1-x)j |
: |
|
|
|
Решение.sin |
|
|
|
|
|
x!1+0 |
|
x3-1 |
(1 - x)j |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
j |
|
|
0 |
3:2:6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 - 1 |
= 0 = |
|
|
|
|
x 1+0 |
|
|
|
|
= lim |
|
- sin (1 - x) |
= - lim |
sin ( (x)) |
|
|
|
|
! x!1+0 |
|
x3 - 1 |
x!1+0 x3 - 1 |
Метод решения: “Первый замечательный предел”.
Шаг 3.
Найдите бесконечно малую функцию (x). Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
|
Пример 78 Найти предел |
lim |
j sin (1-x)j |
: |
|
x3-1 |
|
Решение.sin |
|
|
|
|
x!1+0 |
|
|
(1 - x)j |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
j |
|
0 |
3:2:6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x3 - 1 |
= 0 = |
|
|
|
! |
1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - lim sin ( (x)) = lim x!1+0 x3 - 1 x!1+0
(x)
z }| {
sin (1 - x)
1 - x3
Минус единицу занесли в знаменатель.
Шаг 4. Организуйте первый замечательный предел.
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
|
Пример 78 Найти предел |
lim |
|
|
j sin (1-x)j |
: |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
x |
! |
1+0 |
|
x3-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
j sin (1 - x)j |
0 3:2:6 |
|
lim |
sin ( (x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x3 - 1 |
= 0 = - x |
x3 - 1 |
= |
|
! |
1+0 |
! |
1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x)
z }| {
sin (1 - x)
1 - x3
3:20:1:1 |
lim |
sin (1 - x) |
|
1 - x |
= |
x!1+0 |
|
|
|
1 - x |
1 - x3 |
Первый замечательный предел:
|
lim |
sin ( (x)) |
= 1; где |
|
lim (x) = 0: |
|
(x) |
|
|
x |
! |
1+0 |
|
x 1+0 |
x |
! |
1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 5. Найдите |
lim |
1-x |
: |
3 |
|
|
|
|
|
|
! |
1-x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 78 Найти предел |
|
lim |
|
j sin (1-x)j |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
! |
1+0 |
|
|
|
x3-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j sin |
|
|
|
|
j |
|
|
0 |
3:2:6 |
|
|
|
|
sin |
( (x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
(1 - x) |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x3 - 1 |
|
|
= |
0 |
|
= - x |
|
x3 - 1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
! |
1+0 |
|
|
|
|
! |
1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
sin (1 - x) 3:20:1:1 |
|
lim |
sin (1 - x) 1 - x 3:20:1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
1 - x |
|
|
1 |
|
x3 = |
3: |
|
= x 1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
x 1+0 |
|
|
|
- |
|
|
! |
|
1z-}| { |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 - x |
|
|
|
0 |
|
10:18 |
|
lim |
|
|
|
|
|
1 - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 - x3 |
= 0 |
= |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+0 |
|
1+0 (1 - x)(1 + x + x2) = |
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! = lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1+0 1 + x + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 31: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
