Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление
.pdf
Все эти свойства доказываются просто.
Докажем, для примера, свойство 10, которое равносильно двум включениям:
A [ (B \ C) (A [ B) \ (A [ C)
и
(A [ B) \ (A [ C) A [ (B \ C) :
Доказательство.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Фиксируем произвольное x 2 A [ (B \ C) : Так как
Опр.([)
(x 2 A [ (B \ C)) =) (x 2 A или x 2 B \ C) ;
то рассмотрим два случая.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Если
Опр.([)
(x 2 A) =)
Опр.(\)
(x 2 A [ B и x 2 A [ C) =)
(x 2 (A [ B) \ (A [ C)) :
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Если же
(x 2 B \ C) |
Опр.(\) |
|
=) |
Опр.([) |
|
(x 2 B и x 2 C) |
=) |
|
Опр.(\)
(x 2 A [ B и x 2 A [ C) =)
(x 2 (A [ B) \ (A [ C)) :
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Итак, мы доказали, что
A [ (B \ C) (A [ B) \ (A [ C) :
Докажем, далее, обратное включение.
Фиксируем x 2 (A [ B) \ (A [ C) : Рассмотрим также два возможных случая.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Если
(x 2 A) |
Опр.([) |
=) (x 2 A [ (B \ C)) : |
Если же
(x 2 |
|
Опр.(\) |
|
(A [ B) \ (A [ C) и x 2= A) |
= |
||
|
(x 2 B и x 2 C) = \ |
) |
|
|
|
Опр.( |
) |
|
(x 2 B \ C) |
Опр.([) |
|
|
) |
|
|
|
= ) |
|
|
(x 2 A [ (B \ C)) :
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказано второе включение
(A [ B) \ (A [ C) A [ (B \ C) :
Свойство 10 доказано.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
1.3.Множество вещественных чисел.
Определение 1. Символ вида
c0; c1c2c3 : : : cn : : : ;
где c0 - целое число, а cn - одна из цифр
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 (n = 1; 2; 3; : : :);
называется бесконечной десятичной дробью. Для каждой конечной десятичной дроби существует равная ей бесконечная десятичная дробь. Например, 0:1 = 0:0(9); 2:35 = 2:34(9) и т. д. Множество десятичных дробей с таким отношением равенства называется множеством вещественных чисел. Две равные дроби обозначают одно и тоже вещественное число.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Общеприняты обозначения:
N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел,
Q – множество рациональных чисел,
R – множество действительных (вещественных) чисел.
Очевидно, что
N Z Q R:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
На множестве действительных чисел определены операции сложения и умножения обладающие свойствами:
Коммутативность
(1) 8x; y 2 R : (x + y = y + x) (5) 8x; y 2 R : (x y = y x)
Ассоциативность
(2) 8x; y; z 2 R : |
(6) 8x; y; z 2 R : |
x + (y + z) = (x + y) + z |
x (y z) = (x y) z |
Существование нейтрального элемента |
|
(3) 8x 2 R : x + 0 = x |
(7) 8x 2 R : x 1 = x |
Существование противоположного элемента |
Существование обратного элемента |
(4) 8x 2 R 9y : x + y = 0 |
(8) 8x 2 R n f0g 9y : x y = 1 : |
Обозначение: y = -x: |
Обозначение: y = x-1: |
Дистрибутивный закон
(9) 8x; y; z 2 R : x (y + z) = x y + x z
Следующие аксиомы определяют свойства порядка на множестве вещественных чисел.
10. 8x; y 2 R : (либо x < y, либо x > y, либо x = y) (упорядоченность множества R. Запись x y означает, что либо x < y либо x = y);
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit