Определение 88. Говорят, что бесконечно малая имеет порядок малости k (k > 0) относительно бесконечно малой при x ! !, если
lim (x) |
= C; где C - число, C 6= 0: |
x!! [ (x)]k |
При этом бесконечно малую C [ ]k, эквивалентную при x ! !, называют главной частью бесконечно малой при x ! !.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 88 вводит более точную срав-
нительную характеристику поведения беско- нечно малых, в выражении их порядков чис-
лами. При этом для введения шкалы беско- нечно малых нужно, прежде всего, в каче-
стве своего рода “эталона” выбрать одну из фигурирующих в данном исследовании бесконечно малых; её называют основной. Конечно, выбор основной бесконечно малой в известной мере произволен, но обычно берут простейшую из всех. Если ! = x0 конечная предельная точка множества A R и: A ! B; B R бесконечно малая при x ! x0, то за “основную” бесконечно малую берут(x) = x - x0. Если же ! = 1 предельная точка множества A R и : A ! B; B R бесконечно малая при x ! 1, то за “основ-
ную” бесконечно малую берут (x) = x1.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Не следует думать, конечно, что для всякой бесконечно малой (даже сравнимой со всеми степенями k) может быть установлен определённый порядок.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 75. Найти главную часть вида Cxk бесконечно малой (x) = 1 - cos x при x ! 0:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. Первый вариант решения. Так как
3:24 |
2 |
(x) = 1 - cos x |
x2 при x ! 0; то, следо- |
вательно, главной частью бесконечно малой(x) = 1-cos x при x ! 0 является бесконеч-
но малая 12 x2:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Второй вариант решения. Попробуем подобрать k > 0 и C 6= 0 такие, что
1 - cos x
lim xk = C: x!0
Тогда, согласно определению 88, главной частью бесконечно малой (x) = 1 - cos x при
x ! 0 является бесконечно малая C xk:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
|
|
|
1 - cos x 10:32 |
|
|
|
2 sin2 x2 |
3:20:1:1 |
lim |
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
! |
|
|
1x |
|
2 |
xx2!3:20:1x |
0; |
если k < 2; |
|
|
sin x |
|
x |
|
0 |
|
|
x |
2 |
! |
|
|
= |
|
2 |
; если k = 2; |
|
2 |
xk |
|
= lim |
|
|
|
|
|
81 |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
; если k > 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<+ |
|
Итак, единственный вариант, удовлетворяющий определению 88, это k = 2; C = 12:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 76. Найти главную часть вида xCk бесконечно малой (x) = 3 sin2 x23 при x ! 1:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. Первый вариант решения.
3:15 |
2 |
|
|
Так как 1(x) = sin |
2 |
|
при x |
! 1; |
x3 |
x3 |
то, (x) = 3 sin2 x23 3x46 при x ! 1 и, следовательно, главной частью бесконечно малой
(x) = 3 sin2 x23 при x ! 1 является бесконечно малая 12x6:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Второй вариант решения. Попробуем подобрать k > 0 и C 6= 0 такие, что
|
3 sin2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
x3 |
|
= C: |
|
1 |
|
|
x!1 |
|
|
|
|
|
xk |
|
|
Тогда, согласно определению 88, главной частью бесконечно малой (x) = 3 sin2 x23 при
x ! 1 является бесконечно малая xCk:
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
|
|
< |
0; если k < 6; |
x |
|
|
1k |
|
|
|
|
x |
|
23 |
|
|
! |
|
|
|
|
> |
|
|
если |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1k |
|
|
|
|
|
|
3 sin |
|
x |
3 |
3:20:1:1 |
|
sin |
x |
3 |
|
|
x |
6 |
3:20:1 |
812; |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
= lim 3 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
k |
6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>+ |
|
; если k > 6: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
Итак, единственный вариант, удовлетворяющий определению 88, это k = 6; C = 12:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
