Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Следствие 51.1. При вычислении пределов

вида

lim 1(x) : : : k(x) ; x!! 1(x) : : : m(x)

где все i и j - бесконечно малые при x ! !; можно заменять каждый из множителей i, j на величину, эквивалентную этому множителю, не меняя величины предела.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3.22.2.Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Пусть ! конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk и

: A ! B, A Rk; B R бесконечно малая при x ! !.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Таблица эквивалентных:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 74. Используя следствие 51.1 и таблицу эквивалентных, найти предел

tg x - sin x lim x3 : x!0

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение.

= lim x x22 = 1: x!0 x3 2

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Внимание! Одна из самых распространённых ошибок при вычислении предела некоторого выражения данным методом заключается в замене бесконечно малой функции, не являющейся множителем всего этого выражения, на эквивалентную бесконечно малую (чаще всего такая ошибочная замена делается в отдельном слагаемом алгебраической суммы).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Для более выпуклого пояснения выделенной мысли покажем как иногда ошибочно решают пример 74:

!

что не совпадает с ранее полученным верным результатом.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Сравнение бесконечно малых функций.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3.22.3.Главная часть бесконечно малых.

Пусть ! конечная или бесконечно удалённая

предельная точка множества A Rk и

; : A ! B; B R бесконечно малые при x ! !.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit