Для примеров этого учебника:
Если ищется предел при x ! g; g 6= 0; и ни один из выше перечисленных методов не подходит, то только тогда рекомендуется перейти к новому аргументу t = x-g (x = t+g), который стремится к нулю при x ! g:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 71. Найти предел
lim sin 3x: x! sin 2x
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение.
В этом примере имеется:
1. Неопределённость вида 00 ;
2. Функции синус, аргументы которых не являются бесконечно малыми при x ! : Поэтому для решения этого примера метод
“Первый замечательный предел” не подходит.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Сделаем замену x = t + : Тогда получим
x sin 2x |
= |
0 |
= t 0 sin (2t |
+ 2 ) = |
|
lim |
sin 3x |
|
0 |
lim |
sin (3t |
+ 3 ) |
|
! |
|
|
|
! |
= lim |
- sin 3t |
: |
|
|
|
|
sin 2t |
|
|
|
|
|
t!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь имеем:
1. Неопределённость вида 00 ;
2. Функции синус, аргументы которых являются бесконечно малыми при t ! 0:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Продолжим решение этого примера методом “Первый замечательный предел”.
t 0 |
sin 2t |
= |
0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
- sin 3t |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
lim |
sin 3t |
|
|
1 |
|
3t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
2t |
= -2 |
: |
|
|
= - t |
! |
0 |
sin 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
3.22.Сравнение бесконечно малых
функций.
Пусть ! конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk и
; : A ! B; A Rk; B R бесконечно малые при x ! !.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
lim |
|
|
= 0; |
x!! (x) |
|
Определение 85. Если |
|
|
(x) |
|
то говорят, что есть бесконечно малая более высокого порядка, чем при x ! !
и пишут = o( ) при x ! !.
Обозначение = o( ) читается “ есть o
малое от при x ! !.”
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 72. Если (x) - бесконечно малая при x ! !; то ( (x))2 есть бесконечно малая более высокого порядка, чем (x) при x ! !.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 86. Говорят, что функции и, бесконечно малые одного порядка при
x ! !, если 9h1; h2 2 R и 9U (!) такие, что
8x 2 A \ U (!) : 0 < h1 < (x) |
< h2: |
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 49. Пусть функции и беско- нечно малые при x ! !:
Если lim (x) конечен и отличен от ну-
x!! (x)
ля, то функции и бесконечно малые одного порядка при x ! !.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
