Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление
.pdf
Словами “Организовать третье следствие второго замечательного предела”
обозначим следующую последовательность действий:
lim (1 + (x)) - 1 |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
||||
x |
! |
! |
|
|
(x) |
|
0 |
|
(x): |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim (1 + (x)) - 1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ! |
|
|
|
(x) |
|
(x) |
|
||
Так как |
lim |
(1+ (x!)) -1 |
= ; то нужно най- |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
x ! |
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(1+ (x)) -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ти |
|
lim |
(x) |
= |
|
0 ; что проще, чем найти |
||||||||||||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
! (!) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x ! |
! |
|
(x) |
|
|
: В этом и состоит суть мето- |
||||||||||||||
да. |
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit |
|||||||||||
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 70 Найти предел
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - cos x |
|
|
вещественное): |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( - |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 1 - cos x |
|
0 |
|
lim |
(1 + (x)) - 1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
! |
0 |
|
|
|
x2 |
|
0 |
! |
0 |
|
|
|
-x2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
01 + ( |
|
x |
|
)1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 + ( |
|
x |
|
)1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
- 1 |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
- 1 |
- 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
z |
}| |
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
3:20:2:4 lim |
|
@ |
z |
}| { |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
= x |
|
0 |
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
! |
|
|
|
-x2 |
|
|
|
|
|
|
x |
! |
0 |
|
|
|
|
cos x - 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x - 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-x2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Третье следствие второго замечательного предела: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
(1+ (x)) -1 |
= ; где lim (x) = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
! |
0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
x! |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Шаг 5. Найдите lim 1-cos2 |
x: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Перейдите на |
следующую страницу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First |
Prev |
Next |
|
|
Last Go Back Full Screen Close Quit |
||||||||||||||||||||
3.21.Метод “Замена переменных”.
Пусть требуется найти lim f(x). Аргумент x заменим функцией
'(t) так чтобы |
|
x!x0 |
x x0 ' |
|
(x) = t0 |
t t0 |
'(t) = x0 |
-1 |
|||
lim |
|
lim |
|
|
|
|
! |
|
! |
|
|
и были выполнены условия теоремы 27 о пределе композиции отображений. Тогда
lim f(x) = lim f '(t):
x!x0 t!t0
Замену x = '(t) подбирают так чтобы lim f '(t) был бы проще
t!t0
исходного.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit