Вэтом примере имеется:
1.неопределённость вида 00 ;
2.показательная функция, аргумент которой (x) ! 0 при x !
!:
Словами “Организовать второе следствие второго замечательного предела” обозначим следующую последовательность действий:
|
lim |
a (x) - 1 |
0 |
lim |
a (x) - 1 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
= 0 |
(x) |
(x) |
: |
|
|
|
x |
! |
|
= x |
! |
! |
|
|
|
|
!a (x)-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
0 |
|
Так как lim (x) |
|
= ln a; то нужно найти lim |
|
= |
|
; что |
|
(x) |
0 |
x ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
! |
|
|
|
|
проще, чем найти lim a (x)-1: В этом и состоит суть метода. |
! |
|
|
|
x |
! |
! |
|
(x) |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 69. Найти предел
lim e-3x - 1: x!0 x
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 69 Найти предел
lim e-3x - 1: x!0 x
Решение.
Шаг 1. Определите вид неопределённости. Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 69 Найти предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
e-3x |
- 1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e-3x - 1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
0 |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e-3x-1 |
|
|
0 |
|
|
x |
|
0 в формуле |
|
|
|
; получим |
|
: |
Заменяя |
|
на |
|
! |
|
|
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
( Обоснование правильности этого действия будет в разделе “Непрерывные функции”).
Шаг 2. Выберите метод решения. Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 69 Найти предел
lim e-3x - 1: x!0 x
Решение.
|
e-3x - 1 |
0 |
|
= |
|
|
x 0 |
x |
|
0 |
lim |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
Метод решения: “Второе следствие второго замечательного предела”.
Шаг 3.
Найдите бесконечно малую функцию (x). Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 69 Найти предел
lim e-3x - 1: x!0 x
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
x 0 |
x |
= |
0 |
= x 0 |
z |
|
}| |
|
{ |
|
x |
lim |
e-3x - 1 |
|
0 |
lim |
e(-3x) - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
(x) = (-3x) ! 0 при x ! 0:
Шаг 4. Организуйте второе следствие второ- го замечательного предела.
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 69 Найти предел lim e-3x-1:
x!0 x
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
x 0 |
x |
= |
0 |
= x 0 |
|
z |
|
}| |
|
{ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
x |
|
|
lim |
e-3x - 1 |
|
0 |
lim |
e(-3x) - 1 3:20:2:3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
z |
|
}| |
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
e(-3x) - 1 |
|
-3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второе следствие второго замечательного предела:
lim e (x)-1 |
= ln e = 1; где lim (x) = 0: |
x!0 |
(x) |
x!0 |
|
Шаг 5. Найдите lim -3x:
x!0 x
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 69 Найти предел lim e-3x-1:
x!0 x
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x |
= |
0 |
= x 0 |
|
|
|
z |
|
}| |
|
|
{ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
lim |
e-3x |
- 1 |
|
|
0 |
|
|
|
lim |
|
e(-3x) |
- 1 |
|
3:20:2:3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
z |
|
}| |
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
e(-3x) |
- 1 |
|
-3x |
= -3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
-3x |
|
|
0 |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
= x 0(-3) = -3: |
|
-3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
ТРЕНАЖЁР |
|
|
|
ТРЕНАЖЁР |
|
|
Найти предел |
|
|
|
Найти предел |
|
|
acxn+d |
- 1 |
|
|
acxn+d |
- 1 |
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!g pxm + q |
|
x!g sin (pxm + q) |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
3.20.2.4.Метод “Третье следствие второго замечательного
предела”.
Суть метода “Третье следствие второго замечательного предела” поясним на примере:
Пусть ! есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk,; : A ! R, бесконечно малые при x ! ! и6= 0 вблизи !. Найти
lim |
(1 + (x)) - 1 |
0 |
|
x |
|
! |
|
|
= |
|
: |
! |
(x) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
