Найти
|
|
lim |
loga f(x) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
= 0 : |
|
|
|
x ! |
|
lim f x |
1 |
|
|
|
|
|
Так как x |
|
!!( ) = , то, в силу теоремы 28, |
f(x) = 1 + (x), где (x) |
|
0 при x |
! и |
= 0 вблизи !. |
|
! |
|
|
|
! |
6 |
! |
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Словами “Организовать первое следствие второго замечательного предела” обозначим следующую последовательность дей-
ствий: |
|
|
|
|
|
|
0 |
= x ! |
|
|
|
|
|
|
x ! |
|
(x) |
= |
|
(x) |
= |
|
lim |
loga f(x) |
|
|
|
0 |
|
lim |
loga (1 + (x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
! |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
loga (1 + (x)) |
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ! |
|
|
(x) |
|
(x) |
Так как lim |
log |
a |
(1+ (x)) |
= log |
|
e; то, нуж- |
|
|
|
! |
|
|
a |
|
|
|
|
|
x |
! |
! |
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
loga f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но найти |
lim |
|
|
|
|
= |
|
0 |
; что проще, чем |
|
|
|
|
|
|
x |
|
! (x) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
! |
! (x) |
|
!: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом и состоит суть метода.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 68. Найти предел
lim ln (1 - 5x): x!0 x
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 68 Найти предел
lim ln (1 - 5x): x!0 x
Решение.
Шаг 1. Определите вид неопределённости. Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 68 Найти предел
|
|
lim |
ln (1 - 5x) |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
Решение. |
x |
|
|
= |
0 |
x |
0 |
|
|
|
lim |
ln (1 - 5x) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяя x на 0!в формуле |
ln (1-5x) |
|
|
|
|
|
x |
|
|
; |
|
получим 00 : |
( Обоснование правильности этого действия будет в разделе “Непрерывные функции”).
Шаг 2. Выберите метод решения. Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 68 Найти предел
lim ln (1 - 5x): x!0 x
Решение.
x 0 |
x |
= |
0 |
lim |
ln (1 - 5x) |
|
0 |
|
|
|
! |
|
|
|
Метод решения: “Первое следствие второго замечательного предела”.
Шаг 2.
Найдите бесконечно малую функцию (x). Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 68 Найти предел
lim ln (1 - 5x): x!0 x
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
x 0 |
x |
= |
0 |
= x 0 |
xz |
|
}| |
|
{ |
|
|
lim |
ln (1 - 5x) |
|
0 |
lim |
ln (1 + (-5x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
(x) = (-5x) ! 0 при x ! 0:
Шаг 3. Организуйте первое следствие второ- го замечательного предела.
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
ln (1-5x)
Пример 68 Найти предел lim x :
x!0
Решение.
|
|
|
|
0 |
|
|
|
(x) |
{ |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
= |
= x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
zx |
}| |
|
|
|
lim |
ln (1 - 5x) |
|
0 |
lim |
ln (1(-5x)) |
3:20:2:2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
-z |
|
}| |
|
|
{ x |
|
|
|
|
|
= lim |
ln (1(-5x)) -5x |
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1+ (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первое следствие второго замечательного предела: |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
= ln e = 1, где lim (x) = 0: |
|
(x) |
|
x!0 |
x!0 |
|
|
Шаг 4. Найдите lim -5x:
x!0 x
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
ln (1-5x)
Пример 68 Найти предел lim x :
x!0
Решение.
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
{ |
|
|
|
x 0 |
|
x |
= |
= x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
zx |
}| |
|
|
lim |
ln (1 - 5x) |
|
0 |
|
|
|
|
ln (1(-5x)) |
3:20:2:2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
-z |
|
}| |
|
{ x |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
ln (1(-5x)) -5x |
= -5: |
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
-5x |
|
0 |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
= x 0(-5) = -5: |
|
-5: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
3.20.2.3.Метод “Второе следствие второго замечательного
предела”.
Суть метода “Второе следствие второго замечательного предела” поясним на примере:
Пусть ! есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk,; : A ! R, бесконечно малые при x ! ! и6= 0 вблизи !. Найти
lim a (x) - 1: x!! (x)
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
