Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1306 вузов, 5174 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
8.08 Mб
Скачать
☆

3.20.2.1.Метод “Второй замечательный предел”.

Суть метода “Второй замечательный предел” поясним на примере:

Пусть ! есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk,

f; : A ! R и lim f(x) = 1; lim (x) = 0.

x!! x!!

Найти

1

lim (f(x)) (x) = (11)

x!!

(Это новый вид неопределённости).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Так как lim f(x) = 1, то, в силу теоремы 28, f(x) = 1 + (x), где

x!!

(x) ! 0 при x ! ! и 6= 0 вблизи !. Словами “Организовать второй замечательный предел” обозначим следующую последовательность действий:

1

lim (f(x)) (x)

x!!

= (11) =

1

= lim (1 + (x)) (x)

x!!

(x)

h 1 i (x)

= lim (1 + (x)) (x) :

x!!

1

Так как lim (1 + (x)) (x) = e; тогда, если

x!!

1

lim (f(x)) (x) = eK:

x!!

В этом и состоит суть метода.

lim (x) = 0 = K; то

x!! (x) 0

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 67. Найти предел

x +

 

x + 1

 

2x-1

x - 2

:

lim

 

 

 

 

 

! 1

 

 

 

 

 

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 67 Найти предел

x +

 

x + 1

 

2x-1

x - 2

:

lim

 

 

 

 

 

! 1

 

 

 

 

 

Решение.

Шаг 1. Определите вид неопределённости. Перейдите на следующую страницу.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 67 Найти предел lim x+1 2x-1 :

x!+1 x-2

Решение.

x +

x + 1

2x-1

)

x - 2

= (1

lim

 

 

1

! 1

 

 

 

Заменяя x на +1 (см. конец раздела 1.3) в формуле x+1 2x-1 ;

x-2

получим 11 1 : Это не является видом неопределённости, но 11 это вид неопределённости. Найдём сначала

x +

x + 1 3:19:3

x +

x

1 + 1

 

x +

1 + 1

53

x - 2

x

1 - x2

1 - x2

 

lim

 

=

lim

 

x

 

= lim

 

x

= 1:

! 1

 

 

! 1

 

 

 

! 1

 

 

 

Шаг 2. Выберите метод решения. Перейдите на следующую страницу.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 67 Найти предел

x + 1 2x-1

lim

x!+1 x - 2

Решение.

x +

 

x + 1

2x-1

= (1

 

28

 

(1 + (x))

2x-1

x - 2

 

1

) = x +

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

! 1

 

 

 

 

 

 

 

! 1

 

 

Метод решения: “Второй замечательный предел”.

Шаг 2.

Найдите бесконечно малую функцию (x). Перейдите на следующую страницу.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 67 Найти предел lim x+1 2x-1

x!+1 x-2

Решение.

lim

 

 

 

 

= (1

 

) = lim

01 +

 

 

 

 

 

 

1

2x-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 1

2x-1

1

28

 

B

3

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +

x - 2

 

x +

 

x - 2

 

! 1

 

 

 

 

 

 

 

! 1 B

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

|

 

{z

 

}A

 

Для выделения бесконечно малой функции (x) воспользуемся приёмом “Добавить и вычесть единицу”.

где (x) = x-3 2

 

 

 

 

 

 

x + 1

= 1 +

 

x + 1

- 1 = 1 +

3

;

x - 2

 

x - 2

x - 2

 

 

 

 

! 0 при x ! +1:

Шаг 3. Организуйте второй замечательный предел. Перейдите на следующую страницу.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 67 Найти предел

x + 1 2x-1

lim

x!+1 x - 2

Решение.

 

x - 2

= (1

) = x +

0

1 + x - 2

12x-1

 

 

 

x +

 

 

=

 

 

 

 

 

 

x + 1

2x-1

28

 

B

3

 

 

 

 

C

3:20:2:1

 

 

 

 

lim

 

 

1

 

lim

 

(x)

 

 

 

 

 

! 1

 

 

 

 

! 1 B

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

|

 

{z

 

}

A

" 1 + x - 2

3

#

x-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x-2

3(2x-1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! 1

 

 

 

 

 

 

Второй замечательный предел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

где

 

 

 

 

lim (1 + (x))

(x)

= e;

lim

(x) = 0:

 

 

x +

 

 

 

 

 

 

x +

 

 

! 1

lim

3(2x-1)

 

 

 

! 1

 

 

 

 

 

 

 

Шаг 4. Найдите

 

 

:

 

 

 

 

 

 

+

x-2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдите на

следующую страницу.

 

 

 

 

 

! 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

First Prev

Next

Last

Go Back Full Screen Close Quit

Пример 67 Найти предел

x + 1 2x-1

lim

x!+1 x - 2

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

01 +

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2x-1

 

 

 

 

x + 1

 

2x-1

 

28

 

 

3

 

 

 

 

 

3:20:2:1

 

lim

 

 

 

 

= (1

 

) = lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

x - 2

 

 

 

x - 2

 

 

 

x +

 

1

x +

B

 

C

 

 

 

 

 

 

! 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! 1 B

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

| {z }

A

 

 

x-2

#

3(2x-1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

x-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

= x

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= e :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

" 1 + x - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3(2x - 1)

 

 

1

 

3:19:3

 

6 - 3

53

x +

 

 

=

=

x +

 

= 6:

x - 2

1 - x2

lim

 

 

1

lim

x

! 1

 

 

 

 

! 1

 

 

Ответ: e6:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3.20.2.2.Метод “Первое следствие второго замечательного

предела”.

Суть метода “Первое следствие второго

замечательного предела” поясним на примере:

Пусть ! есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk,

f; : A ! R и lim f(x) = 1; lim (x) = 0.

x!! x!!

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности