Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

3.20.2.Второй замечательный предел и его следствия.

Пусть ! конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk,

: A ! B; B R

бесконечно малая при x ! ! и 6= 0 вблизи

!.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 45. Степень, основание которой равно сумме единицы и бесконечно малой при x ! !, а показатель есть величина, обратная этой бесконечно малой при x ! !, имеет пределом число e при x ! !: Итак,

1

lim (1 + (x)) (x) = e;

x!!

где (x) ! 0 при x ! !: (3.12)

Этот предел называется вторым замечательным пределом.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство.

1 y

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 46. Первым следствием второго замечательного предела называют

lim loga (1 + (x)) = loga e; x!! (x)

где (x) ! 0 при x ! !:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 47. Вторым следствием второго замечательного предела называют

lim a (x) - 1 = ln a; x!! (x)

где (x) ! 0 при x ! !.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Обозначим (x) = a (x) -

Тогда, учитывая (3.13) и теорему 32, получим

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 48. Третьим следствием второго замечательного предела называют

lim (1 + (x)) - 1 = ;

x!! (x)

где (x) ! 0 при x ! !.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тогда

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit