Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1306 вузов, 5174 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
8.08 Mб
Скачать
☆

Пример 65 Найти предел

 

 

 

lim

arcsin (x + 1)

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

x!-1

x3 + 1

= 0

 

 

 

 

x -1

x3 + 1

 

 

 

 

lim

arcsin (x + 1)

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заменяя

x на (-1) в формуле

arcsin (x+1)

;

получим

 

 

!

 

 

 

 

 

x3+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00 : ( Обоснование правильности этого действия будет в разделе “Непрерывные функции”).

Шаг 2. Выберите метод решения. Перейдите на следующую страницу.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 65 Найти предел

lim

arcsin (x+1)

:

 

 

 

 

 

x3+1

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

(x + 1)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3:20:1:2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 + 1

 

 

 

= 0

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

arcsin (x + 1)

 

x + 1 10:19

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

x + 1

 

 

 

x

3

+ 1

 

 

 

 

 

x

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

(

x

+

1

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 1

 

 

 

 

 

=

lim

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

x + 1

 

 

(x + 1)(x

2

- x + 1)

x -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

arcsin (x + 1)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3:20:1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

x + 1

 

 

 

 

 

x2 - x + 1

=

 

 

 

!x -1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

!

Метод решения:“Первое следствие первого замечательного предела”, (x) = x+1 ! 0 при x ! -1. Организуем первое следствие

первого замечательного предела.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

ТРЕНАЖЁР – ИНСТРУМЕНТ Найти предел

lim

arcsin (axn + b)

cxm + d

 

x!g

 

 

 

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

(x)

3.20.1.3.Метод “Второе следствие первого замечательного

предела”.

Суть метода “Второе следствие первого замечательного предела” поясним на примере:

Пусть ! есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk;; : A ! R, бесконечно малые при x ! ! и6= 0 вблизи !. Найти

lim arctg (x): x!!

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Вэтом примере имеется:

1.неопределённость вида 00 ;

2.функция арктангенс, аргумент которой (x) ! 0 при x ! !:

Словами “Организовать второе следствие первого замеча-

тельного предела” обозначим следующую последовательность действий:

lim

arctg (x)

0

lim

arctg (x)

 

 

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

= 0

(x)

 

 

 

(x)

:

x

!

 

= x

!

!

 

 

 

! arctg (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

0

 

Так как lim

 

 

 

 

= 1;

то нужно найти lim

 

 

= 0

; что про-

 

(x)

(x)

x !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim arctg (x): В этом и состоит суть метода.

ще, чем найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

x

 

!

 

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 66. Найти предел p

lim arctg ( x - 1 - 2): x!5 x - 5

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 66 Найти предел p

lim arctg ( x - 1 - 2): x!5 x - 5

Решение.

Шаг 1. Определите вид неопределённости. Перейдите на следующую страницу.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 66 Найти предел

 

 

 

lim

arctg (p

 

 

 

- 2)

:

 

 

 

 

 

 

 

x - 1

 

 

 

 

 

x - 5

 

 

 

 

 

 

 

x!5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

(

p

 

 

 

 

 

 

 

0

 

x

 

5

arctg

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

x - 5

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x на 5 в формуле arctg (p

 

-2);

 

 

x-1

 

Заменяя

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x-5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00 : ( Обоснование правильности этого действия будет в разделе “Непрерывные функции”).

Шаг 2. Выберите метод решения. Перейдите на следующую страницу.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

(

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 66 Найти предел lim

 

 

 

 

 

 

x-1-2)

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

x

!

5

 

 

 

 

x-5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x - 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

(

 

x - 1 - 2)

 

 

 

0

 

 

 

3:20:1:3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

arctg (px - 1 - 2)

 

 

px - 1 - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3:19:4:2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

- 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x - 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 5

 

 

 

 

x - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim!arctg

(p

 

 

 

 

- 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x - 5

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 5

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!x 5

 

x - 1 - 2

 

 

 

(x - 5)( x - 1 + 2)

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

4

 

= lim

arctg (px - 1 - 2)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3:20:1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x - 1 - 2

 

 

 

 

 

 

 

 

x - 1 + 2

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод решения:“Второе следствие первого замечательного пре-

p

дела”, (x) = x - 1 - 2 ! 0 при x ! 5: Организуем второе

следствие первого замечательного предела.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

ТРЕНАЖЁР – ИНСТРУМЕНТ Найти предел

lim

arctg (axn + b)

cxm + d

 

x!g

 

 

 

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности