Пример 64 Найти предел
|
|
|
|
|
|
lim |
1 - cos x |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
x!0 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
lim |
|
1 - cos x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 в формуле 1-cos x; |
|
0 |
: |
Заменяя |
|
на |
|
! |
|
|
|
|
|
x2 |
|
получим |
0 |
|
( Обоснование правильности этого действия будет в разделе “Непрерывные функции”).
Шаг 2. Выберите метод решения. Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 64 Найти предел
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 - cos x |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
2 sin2 x2 |
|
|
|
|
|
|
1 - cos x |
0 |
10:32 |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
0 |
|
|
x2 |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первый |
|
вариант. |
|
Метод “Умножить !на |
|
|
|
|
|
|
1-cos x! |
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
сопряжённое”: |
lim |
x2 |
= lim |
|
|
; а дальше метод “Первый замечательный |
x2(1+cos x) |
x |
! |
0 |
|
|
x |
! |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предел”. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй |
|
вариант. |
|
используя |
формулу |
10.32, получим |
lim |
1-cos x |
= lim |
2 sin2 x2 |
|
; а дальше метод “Первый замечательный |
x2 |
x2 |
x |
! |
0 |
|
|
|
x |
! |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предел”. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 64 Найти предел lim 1-cos x: |
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
x!0 |
x2 |
|
|
|
x2 |
= |
0 |
2 |
sin2 x |
= |
x 0 |
= |
x 0 |
x2 |
|
|
1 - cos x |
|
0 |
10:32 |
|
|
2 |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
= lim 2 |
! ( (x)) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
!
Метод “Первый замечательный предел”.
Шаг 3. Найдите бесконечно малую функцию
(x).
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 64 Найти предел lim 1-cos x:
x!0 x2
Решение.
|
1 - cos x |
0 |
10:32 |
|
2 sin2 x2 |
|
|
x 0 |
|
= |
|
|
= |
x 0 |
|
|
= |
x2 |
0 |
x2 |
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
! |
|
|
= lim 2 |
! ( (x)) |
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
!
Бесконечно малая (x) – аргумент функции sin. (x) = x2 ! 0 при x ! 0:
Шаг 4. Организуем первый замечательный предел.
Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 64 Найти предел lim 1-cos x:
x!0 x2
Решение.
|
1 - cos x |
|
0 |
10:32 |
|
|
2 sin2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x2 |
0 |
x 0 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!lim |
|
sin x2 |
2 2 |
x4 |
1 |
|
|
|
|
sin ( (x)) 2 3:20:1:1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
2 |
|
|
|
|
= x 0 |
2 |
|
|
|
|
= |
|
|
x |
|
|
|
= |
|
|
: |
|
x |
|
|
x 0 |
|
|
|
x2 |
2 |
lim |
|
|
|
|
|
|
! |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первый замечательный предел:
lim sin ( (x)) = 1; x!0 (x)
где (x) ! 0 при x ! 0:
Ответ: 12 .
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
ТРЕНАЖЁР |
|
ТРЕНАЖЁР |
Найти предел |
|
Найти предел |
sin (xn + b) |
|
|
sin (xn + b) |
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
x!g cxm + d |
|
x!g sin (cxm + d) |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
3.20.1.2.Метод “Первое следствие первого замечательного
предела”.
Суть метода “Первое следствие первого замечательного предела” поясним на примере:
Пусть ! есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk;; : A ! R, бесконечно малые при x ! ! и6= 0 вблизи !. Найти
lim arcsin (x): x!! (x)
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Вэтом примере имеется:
1.неопределённость вида 00 ;
2.функция арксинус, аргумент которой (x) ! 0 при x ! !:
Словами “Организовать первое следствие первого замеча-
тельного предела” обозначим следующую последовательность
(x) |
= |
0 |
= x ! |
(x) |
(x): |
arcsin (x) |
|
0 |
lim |
arcsin (x) |
(x) |
|
|
|
! |
|
|
Так как lim |
arcsin (x) |
= 1; то нужно найти |
lim |
(x) |
= |
0 |
; что |
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
(x) |
x ! |
|
|
|
|
|
|
x ! |
|
0 |
|
|
|
|
|
arcsin (x): |
|
|
|
метода. |
проще, чем найти lim |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
В этом и состоит суть |
|
|
|
x |
|
|
! |
(x) |
|
|
! |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 65. Найти предел
arcsin (x + 1) lim x3 + 1 : x!-1
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 65 Найти предел
arcsin (x + 1) lim x3 + 1 : x!-1
Решение.
Шаг 1. Определите вид неопределённости. Перейдите на следующую страницу.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
