Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

3.20.1.Первый замечательный предел и его следствия.

Пусть ! конечная или бесконечно удалённая

предельная точка множества A Rk. Пусть, далее, : A ! B; B R бесконечно малая при x ! ! и 6= 0 вблизи !.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 42. Первым замечательным пределом называют

lim sin (x) = 1; где (x) ! 0 при x ! !:

x!! (x)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

При решении примера 39 вторым способом мы доказали, что для всех x 2 -2; 0 [ 0; 2 имеют место неравенства

sinx x < 1:

Но lim cos x = 1 (см. пример 40), значит, по

x!0

теореме 36 о предельном переходе в неравен-

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

п.2. По теореме 27 имеем

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 43. Первым следствием первого замечательного предела называют

lim arcsin (x) = 1; где (x) ! 0 при x ! !: x!! (x)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

п.2. По теореме 27 имеем

= lim arcsin y = 1: y!0 y

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 44. Вторым следствием первого замечательного предела называют

lim arctg (x) = 1; где (x) ! 0 при x ! !: x!! (x)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. п.1. Заметим, что

lim sin x = 0; lim cos x = 1 x!0 x!0

(см. примеры 39 и 40) и тогда, в силу теоремы 32, имеем

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

п.2. По теореме 31 и первого замечательного предела имеем

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit