3.19.4.2.Метод “Умножить на сопряжённое”.
Воснове приёма лежит одна из формул:
(a - b) an-1
или формула
a2n - ba2n-1
an - bn =
+ ban-2 + + bn-2a + bn-1
(3.10)
a2n+1 + b2n+1 = (a + b)
+ b2a2n-2 - - b2n-1a + b2n
(3.11)
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Сомножители, стоящие в формуле (3.10) [или в формуле (3.11)] справа, называют “сопряжёнными”. Метод применяют для рас-
|
крытия неопределённостей вида |
0 |
или |
|
0 |
|
(1 - 1) : |
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 61. Найти предел |
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
x + 4 - |
|
|
lim |
|
8 |
: |
|
x - 4 |
|
x!4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. p
Положим в формуле (3.10) a = x + 4, p
b = 8; n = 2: Умножая числитель и знаменатель на сопряжённое к (a - b); получим
pp
x 4 |
x - 4 |
|
|
= |
0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x + 4 - |
|
8 |
|
0 |
|
|
3:10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
= lim |
|
|
|
|
|
x - 4 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
x |
! |
4 |
( |
- ) |
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
4 + |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
= |
p |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
x!4 p |
x + 4 |
+ 8 4 2 |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 62. Найти предел
|
|
|
p3 |
|
p3 |
|
|
x |
lim |
|
|
5 - x : |
! |
+ |
1 |
|
x + 5 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. p
Положим в формуле (3.11) a = 3 x + 5, p
b = 3 5 - x, n = 1:
Умножая и деля на сопряжённое к (a + b), получим
x + |
|
|
|
p3 |
x + 5 + |
p3 |
5 - x = ( - ) = |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3:11 |
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
x |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 5) + (1- |
1) |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
! |
+ |
1 q(x + 5) + p10 - + q(5 - x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x2 25 |
|
|
|
|
2 |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x |
|
|
+ |
|
|
|
3q(x + 5)2 + |
3 x2 - 25 + 3q(5 - x)2 = 0: |
|
! |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
ТРЕНАЖЁР Найти предел
|
p |
|
- p |
|
|
|
axn + b |
lim |
c |
|
pxm + q |
x!g |
|
ТРЕНАЖЁР Найти предел
|
p3 |
|
|
lim |
xn + a3 - a |
|
xn |
x!g |
ТРЕНАЖЁР Найти предел
|
p |
|
- p |
|
|
a + bxn |
lim |
a |
|
xn |
x!0 |
|
ТРЕНАЖЁР
Найти предел p
lim x - b - c
x!a x - a
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
ТРЕНАЖЁР Найти предел
p
lim 3 x - b - c
x!a x - a
ТРЕНАЖЁР Найти предел
p
3 xn - a3 + a
lim p
x!0 xn + b2 - b
ТРЕНАЖЁР Найти предел
p p lim pxn + a - pa
x!0 xn + b - b
ТРЕНАЖЁР Найти предел
p p x!0 3 xn + sb - s 3 b
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Предел функции (без привлечения замечательных пределов).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Предел функции и последовательности (без привлечения замечательных пределов).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
3.20.Замечательные пределы.
Этот раздел посвящён двум видам пределов, которые получили названия первый и второй замечательные пределы. Каждый из замечательных пределов имеет несколько следствий, которые также будут рассмотрены в
этом разделе.
Замечательные пределы и их следствия положены в основу соответствующих методов
нахождения пределов (раскрытия неопределённостей).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
