Пример 59. Найти
lim x + 1: x!1 x
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. Функции f(x) = x + 1 и g(x) = x бесконечно большие одного порядка роста при x ! 1. Для раскрытия этой неопределённости воспользуемся приёмом: в числителе и знаменателе выделим доминанты при x ! 1. Тогда получим
xlim |
x + 1 |
= |
|
|
|
= xlim |
|
x 1 + x1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
!1 |
|
|
|
1 |
|
!1 |
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
т.к. lim 1 = 0; (см. пример 53).
x!1 x
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
3.19.4.Об отношении бесконечно малых функций.
Пусть ! конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk. Пусть, далее, f; g : A ! B; A Rk; B R бесконечно малые при x ! ! и f 6= 0; g 6= 0 вблизи !.
Так как lim |
f(x) |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
; то о пределе lim |
f(x) |
в об- |
= lim |
g(x) |
= |
|
|
1 |
|
|
|
x |
! |
! g(x) |
x |
! |
! |
|
|
|
x |
! |
! g(x) |
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
щем случае, без дополнительной информации о функциях f и g, ничего определённого сказать нельзя. В этом случаи говорят о неопределённости вида 00 : Раскрыть неопределённость вида
00 означает: в каждом конкретном случае, в зависимости от заданных бесконечно малых при x ! ! функциях f и g, решить вопрос о пределе частного функций f и g при x ! !.
Рассмотрим некоторые методы раскрытия неопределённости ви- да 00 :
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
3.19.4.1.Метод Безу.
Обозначим через Pn и Qm - многочлены степени n и m, соответственно. Пусть x0 есть корень многочленов Pn и Qm, т.е. Pn(x0) = 0 и Qm(x0) = 0. Найти предел
|
lim |
Pn(x) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Qm(x) |
= 0 : |
|
x |
! |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Так как x0 есть корень многочленов Pn и Qm,
то их, в силу теоремы Безу, можно записать в виде:
Pn(x) = (x - x0)pn-1(x);
Qm(x) = (x - x0)qm-1(x):
Многочлены pn-1 и qm-1 однозначно определяются с помощью процесса деления углом многочленов Pn и Qm на x - x0, соответственно. Тогда
|
lim |
Pn(x) |
|
|
0 |
lim |
(x - x0)pn-1(x) |
lim |
pn-1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qm(x) |
= 0 |
(x - x0)qm-1(x) |
qm-1(x): |
|
x |
! |
x0 |
= x |
! |
x0 |
= x |
! |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Вышеописанный приём раскрытия неопреде-
лённости вида 00 , основанный на теореме Безу, будем называть методом Безу.
Если |
же |
|
при нахождении предела |
lim |
pn-1(x) |
|
|
появится снова неопределён- |
q |
(x) |
|
x x0 |
m-1 |
|
раз. |
|
ность вида |
0 |
|
! |
|
|
|
0 |
, то применим метод Безу ещё |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 60. Найти предел
x2 + 2x - 8
lim x3 - 8 x!2
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
0
0
Заменяя x на 2 получим неопределённость вида
(Обоснование этого действия будет дано дальше в разделе “Непрерывные отображения”).
Раскрывать эту неопределённость будем методом Безу. Разделим многочлен x2 + 2x - 8 на (x - 2) :
x2 + 2x - 8 jx - 2
x2 - 2x jx + 4
4x - 8
4x - 8
0
Тогда x2+2x-8 = (x-2)(x+4). Аналогично запишем знаменатель в виде x3 - 8 = (x - 2)(x2 + 2x + 4).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
|
x2 + 2x - 8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
x3 - 8 |
|
|
|
0 |
|
= lim |
|
|
(x - 2)(x + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x - 2)(x2 + 2x + 4) |
|
x |
! |
2 |
|
|
|
|
|
= lim |
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x!2 x |
+ 2x + 4 |
Сокращение на (x - 2) проведено правильно, так как x 6= 2 при x ! 2:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
ТРЕНАЖЁР – ИНСТРУМЕНТ Найти предел
a0x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5
lim 5 4 3 2
x!g b0x + b1x + b2x + b3x + b4x + b5
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
