Пусть a 2 R; a > 1 произвольное.
Определение 83. Функции вида:
y = ln ln x; y = ln x; y = x; y = ax; y = xx
назовем образующими при x ! +1.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Можно показать, что для любых
k; l; m; r; s; i; j; p; q; ; 2 N
имеет место шкала порядков роста функций:
k r i
(ln ln x)m (ln x)s xj
(ax)qp (xx) :
при x ! +1:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Замечания к шкале порядков роста функций:
1.Шкала содержит лишь малую часть бесконечно больших функций и может быть расширена.
2.Очевидно, что из двух функций, относящихся к одному узлу шкалы, большим порядком роста обладает функция с большим
показателем.
1 3
Например: x x2; (ln x)2 (ln x)4 и т.д.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 84. Если функцию f можно представить в виде произведения образующей функции в рациональной степени и ограниченной, отделимой от нуля вблизи +1 функции, то образующую функцию в рациональной степени назовём доминантой функции f (от лат. dominantis - важнейшая часть чего либо).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Замечания:
1.Если функция f имеет доминанту, то функция f бесконечно большая при x ! +1.
2.Не всякая функция имеет доминанту.
3.Зная доминанты бесконечно больших функций при x ! +1 их легко сравнивать
между собой по порядку роста при x ! +1, опираясь при этом на шкалу порядков роста
функций при x ! +1.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
3.19.2.О разности бесконечно больших функций.
Пусть ! конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk. Пусть, далее, f; g : A ! B; A Rk; B R бес-
конечно большие при x ! !, причём lim f(x) = 1 и lim g(x) =
x!! x!!
1. Из теории последовательностей мы знаем, что о пределе разности двух эквивалентных бесконечно больших числовых последовательностей в общем случае ничего определённого сказать нельзя. В этом случаи говорят, что имеет место неопределённость вида (1 - 1) : Но последовательность это частный случай функции и, следовательно, о пределе разности двух бесконечно больших при x ! ! в общем случае тоже ничего определённого сказать нельзя. В этом случаи также говорят, что имеет место неопределённость вида (1 - 1) : Раскрыть неопределённость вида (1 - 1) означает: в каждом конкретном случае, в зависимости от заданных бесконечно больших при x ! ! функций f и g, решить вопрос о пределе разности (f(x) - g(x)) при x ! !.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 41. Пусть |
lim |
1 и |
x!! f(x) = |
lim g(x) = 1. Если функция f есть бес-
x!!
конечно большая более высокого порядка роста, чем функция g при x ! !, то
lim (f(x) - g(x)) = 1:
x!!
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство.
lim (f(x) - g(x)) = lim
x!! x!!
Так как функция f есть бесконечно большая более высокого порядка роста, чем функция g при x ! !, то
|
lim |
1 - |
g(x) |
|
= 1: |
|
f(x) |
|
x!! |
|
|
Тогда, в силу теоремы 39, имеем
lim (f(x) - g(x)) = 1:
x!!
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Итак, в силу теоремы 41, только тогда, когда бесконечно большие функции f и g эквивалентные при x ! !, возникают трудности с нахождением предела разности
(f(x) - g(x)).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Покажем, на примерах, некоторые практические приёмы раскрытия неопределённостей вида (1 - 1).
Пример 56. Найти
|
lim |
|
p |
|
|
p |
|
|
|
x |
! |
+ |
1 |
|
|
x + a - |
|
x |
: |
(3.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
