Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Теорема 39. Если lim f(x) = 1 и

x!!

lim g(x) = a 6= 0, то

x!!

lim (f(x) g(x)) = 1:

x!!

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Фиксируем произвольную (xn); xn 2 A n f!g; и xn ! !.

(f(xn) g(xn) ! 1) :

Из выделенного синим цветом следует, по

определению Гейне, что lim (f(x) g(x)) =

x!!

1:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3.19.1.О сравнении бесконечно больших функций.

Пусть ! конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A Rk. Пусть f; g : A ! B; A Rk; B R бесконечно большие при x ! !, причём g 6= 0 вблизи !. Из теории последовательностей мы знаем, что о пределе частного двух бесконечно больших числовых последовательностей в общем случае ничего определённого сказать нельзя. В этом случаи говорят, что имеет место неопределённость вида 11 : Но последовательность это частный случай функции и, следовательно, о пределе частного двух бесконечно больших при x ! ! в общем случае ничего определённого сказать нельзя. В этом случаи также говорят, что имеет место неопределённость вида 11 : А раскрыть неопределённость вида 11 означает: в каждом конкретном случае, в зависимости от заданных бесконечно больших при x ! ! функ-

ций f и g, решить вопрос о пределе частного gf при x ! !.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 80. Говорят, что функции f и g, бесконечно большие одного порядка ро-

ста при x ! !, если 9h1; h2 2 R и U (!)

такие, что

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 40. Пусть функции f и g бесконечно большие при x ! !:

Если lim f(x) конечен и отличен от ну-

x!! g(x)

ля, то функции f и g бесконечно большие одного порядка роста при x ! !.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Фиксируем "0 = ja2j > 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 81. Пусть функции f и g бесконечно большие при x ! !, причём g 6= 0 вблизи !:

Если lim f(x) равен нулю, то говорят, что

x!! g(x)

функция g бесконечно большая более высокого порядка роста, чем функция f при x ! ! (или функция f бесконечно большая более низкого порядка роста, чем функция g при x ! ! ).

Тот факт, что функция f бесконечно большая более низкого порядка роста, чем функция g при x ! ! записывают так: f g при x ! !.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 82. Пусть функции f и g бесконечно большие при x ! !, причём g 6= 0 вблизи !:

Если lim f(x) = 1, то говорят, что функции

x!! g(x)

f и g эквивалентные при x ! ! и пишут f g при x ! !.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit