Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фиксируем |
|
произвольную |
последователь- |
ность (xn); xn 2 A n f!g; и xn |
! |
!. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(f > 0 вблизи !) |
|
73 |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
() |
> |
9 |
|
|
|
8 2 |
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xn |
|
|
|
|
|
> |
U (!) т.ч. x |
A |
|
U (!) : |
f(x) > 0 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
) |
> |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
9 |
|
|
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
> |
|
|
N т.ч. |
n > N : xn |
U (!)) |
= |
( N = N( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
! f(x) = a = |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
x |
(f(xn) |
|
|
a) > |
|
|
|
! f(xn) |
|
|
a |
) |
|
|
! |
> |
) |
|
n > N : f(xn) > 0 |
|
20 |
|
|
|
8 |
|
|
|
! |
|
|
|
|
) |
|
|
0;): |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= (a |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 75. Говорят, что выполняется неравенство jfj < M (jfj M) вблизи !, ес-
ли 9U (!) такая, что 8x 2 A\U (!) выполняется неравенство jf(x)j < M (jf(x)j M).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 76. Функция f называется
ограниченной вблизи !; если 9M 2 R такое, что выполняется неравенство jfj M вблизи !.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 34. Если функция f при x ! ! имеет конечный предел, то она ограничена вблизи !.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
! f(x) = a 2 R = |
(f ограничена вблизи !) |
76 |
9 |
|
2 R!и |
|
такие, |
|
? |
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
)8 2 |
|
|
() |
|
|
|
lim |
|
|
|
что |
|
|
|
|
|
U (!) : jf(x)j |
|
|
M |
|
|
|
U (!) |
|
|
|
x |
A |
|
|
M : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим " = 1; M = 1 + jaj: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ! f(x) = a 2 R |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
8 |
|
2 |
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
такая, |
что |
|
|
U |
|
|
|
|
|
U |
|
(!) |
|
x |
|
A |
|
|
(!) : jf(x) - aj < " |
= |
! |
(") |
|
|
) |
|
|
|
|
|
(") |
|
|
|
|
) |
8x 2 A \ U (1)(!) : jf(x)j |
= |
10:13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= j(f(x) - a) + aj |
jf(x) - aj + jaj< 1 + jaj = M : |
Из выделенного синим цветом следует, по определению 76, что функция f ограничена вблизи !. 
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 77. Говорят, что выполняется неравенство 0 < M < jfj вблизи !, если
9U (!) такая, что 8x 2 A \ U (!) выполняется неравенство 0 < M < jf(x)j:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 78. Функция f называется отделимой от нуля вблизи !; если
9M 2 R; M > 0; такое, что выполняется неравенство 0 < M < jfj вблизи !.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 35. Если функция f при x ! ! имеет конечный, отличный от нуля предел, то она отделима от нуля вблизи !.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фиксируем "0 |
|
= |
jaj |
|
> 0 и M = |
jaj |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ! f(x ) = a 6 = 0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jaj |
(10:15) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
U (!) т.ч. |
8 |
x |
2 |
|
\ |
( |
) |
: |
|
|
( ) - |
|
|
|
|
0 = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
U |
! |
|
|
jf x |
|
aj < " |
|
2 |
|
|
|
|
8 2 |
A |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
jf(x)j - jaj |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
U ( ! ) : |
|
|
|
|
jf(x) - aj < jaj |
|
|
= ) |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jaj |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10:16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
A |
|
U |
|
(!) : jjf(x)j |
- jajj |
< |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x 2 A \ U (!) : 0 < 2 |
< |
f()) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jaj |
|
j |
|
x |
|
j < |
3jaj |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выделенного синим цветом следует, по определению 78, что функция f отделима от нуля вблизи !. 
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пусть '; f; : A ! B; A Rk; B R и пусть ! конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A.
Определение 79. Говорят, что выполняются неравенства ' < f < вблизи !; если
9U (!) такая, что 8x 2 A \ U (!) выполняются неравенства '(x) < f(x) < (x).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
