Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

так как всякий раз возникали трудности, связанные с вопросом о существовании предела и о способах эффективного его нахождения. Подобные трудности существовали долго, до конца XIX в., когда был создан “"; - аппарат"теории пределов.

Вучебниках Коши (1789-1857) точкой отправления служит понятие предела функции. В них впервые вводится бесконечно малая величина как переменная, предел которой равен нулю.

Непрерывность функции рассматривается как наличие соответствия бесконечно малого приращения функции бесконечно малому приращению аргумента. Через предел вводится понятие производной и определённого интеграла. Здесь еще нет "; -аппарата, но существо дела уже выражено.

Вотношении интегрирования работы Коши представляют собой возврат к здоровым традициям античности и первой половины XVII в., но опираются на еще недостаточные технические средства. Определенный интеграл, который слишком долго оставался на втором плане, определяется Коши как предел инте-

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

гральных сумм и становится понятием первостепенного значения. Для определённого интеграла Коши окончательно устанавливает обозначение Rab f(x) dx; предложенное Фурье (1768-1830).

Анализ Коши уже во многом напоминает современное изложение основ математического анализа.

В 1861 году Вейерштрасс (1815-1897) ввёл в математический анализ современное определение предела, основанное на аппарате неравенств с " и .

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Глава 1

Арифметическое пространство

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1.1.Элементы математической логики.

Вматематике для сокращения записей используются следующие символы:

8 - квантор общности.

Запись 8x означает всякий (любой) x; 9 - квантор существования.

Запись 9x означает существует x,

а 9!x - существует единственное x; 2 - отношение принадлежности.

Запись x 2 A означает, что x принадлежит A или x элемент A. Запись x 2= A означает, что x не принадлежит A или x не является элементом A .

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Высказыванием называется такое предложение, относительно которого имеет смысл го-

ворить истинно оно или ложно. Всякое вы-

сказывание может быть либо истинным либо ложным (закон исключённого третьего).

Никакое высказывание не может быть истинным и ложным одновременно (закон про-

тиворечия). Для сокращения записи высказывания обозначают одной буквой, например, высказывание “Сегодня первое сентября” можно обозначить p.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Отрицанием высказывания p называется высказывание “ p не имеет места”, которое обозначается :p и читается: “не p”. Очевидно, что если p истинно, то :p – ложно, и наобо-

рот.

Пусть p и q - два высказывания. Конъюнк-

цией высказываний p и q (обозначение p^q) называется высказывание, истинное тогда, и

только тогда, когда истинны оба высказывания.

Высказывание p ^ q читается: “ p и q ”.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Дизъюнкцией высказываний p и q (обозначение p _ q) называется высказывание, истинное тогда, и только тогда, когда по крайней мере, одно из высказываний p или q истинно.

Высказывание p _ q читается: “ p или q ”. Составное высказывание “если p, то q” или, что то же самое, “p влечёт q” или “из p следует q” называется импликацией высказываний и обозначается p =) q. Если p =) q, то p называют посылкой, а q заключением.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пусть имеет место высказывание p =) q. Тогда говорят, что p является достаточным условием для q, а q необходимым условием для p. Это означает, что p может быть истинно только в том случае, когда истинно q. Если же

(p =) q) ^ (q =) p);

то q - необходимое и достаточное условие для p, и наоборот. Высказывание “p есть необходимое и достаточное условие для q” обозна-

чается так: p () q, и читается “p имеет место тогда, и только тогда, когда имеет место

q” или “p эквивалентно q”.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

В математике рассматриваются также высказывания, содержащие переменные, которые являются истинными при одних значениях переменных и ложными при других.

Обозначим через p(x) высказывание lg x > 1. Тогда p(x) является истинным при x > 10 и ложным, если 0 < x 10.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теоремы - это высказывания. Например:

Теорема 1. Если 8x 2 A имеет место p(x), то имеет место и q(x).

Краткая запись теоремы 1:

(8x 2 A : p(x) =) q(x)):

Теорема 2. (8x 2 A : p(x) () q(x)):

Введём сокращение: вместо 8n (n > N =) p(n)) будем писать 8n > N : p(n):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit