Теорема 31. Пусть
lim f(x) = a; lim '(x) = b:
x!! x!!
Тогда
lim f(x)'(x) = ab:
x!!
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
f(x) = a
x ! f(x)'(x) = ab |
|
|
(8(xn); xn 2 A n f!g; и xn ! (): |
|
lim |
|
|
! |
f(xn!) '(xn) |
! |
a b) : |
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Фиксируем произвольную (xn); xn 2 A n f!g; и xn ! !.
x |
! |
! |
|
) |
(f(xn) |
! |
a) |
9 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f(x) = a |
= |
! |
|
|
13 |
|
! |
|
|
) |
|
|
|
; |
|
lim |
'(x) = b = ('(xn) |
|
b) = |
|
|
x ! |
|
|
|
|
|
|
|
(f(xn) '(xn) |
! |
a )) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b : |
Из выделенного синим цветом следует, по
определению Гейне, что lim (f(x)'(x)) =
x!!
ab:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
lim x!!
Теорема 32. Пусть
lim f(x) = a; lim '(x) = b;
x!! x!!
причём b 6= 0: Тогда
f(x) = a: '(x) b
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство.
|
lim |
|
9 =? |
x ! f(x) = a |
|
lim |
'(x) = b |
= |
|
x!! |
! |
|
; ) |
lim f(x) = a ()
x!! '(x) b
8(xn); xn 2 A n f!g; и xn |
|
! : '(xn) |
|
b |
|
: |
|
! |
|
f(xn) |
! |
a |
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Фиксируем произвольную (xn); xn 2 A n f!g;
x |
! |
!. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и xn |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
lim |
|
) |
|
(f(xn) |
! |
a) |
= |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f(x) = a |
= |
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
('(xn) |
! |
|
; |
|
|
a |
: |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
'(xn) |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(xn) |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выделенного |
синим |
цветом |
следует, по |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
определению Гейне, что |
lim |
f(x) |
= a: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!! '(x) |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЕ ФУНКЦИЙ
|
Вы видите десять формул, задающих функции f и g, при этом |
|
lim |
1 = 1, lim sin |
|
1 |
|
не существует (см. пример 45), а остальные |
|
x-1 |
|
x |
! |
1 |
|
x |
! |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулы задают бесконечно малые при x |
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
Пары функций |
f |
и |
g |
могут быть |
объединены шестью способами: |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
“sum”, “di erence”, “product”, “quotient”, “k f(x)”, “[f(x)]k”. |
|
|
|
|
|
|
Графики составляющих функций строятся в виде пунктирных |
|
кривых, а их комбинации в виде сплошной коричневой линии. |
|
Предел комбинации функций f и g при x |
! |
1 это ордината крас- |
|
ной точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратите внимание, что встречаются комбинации, в которых не |
|
выполнены условия теорем 30 –32, но предел комбинации при |
|
x |
|
|
|
1 существует и есть конечное число или символ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
First Prev |
Next Last |
Go Back Full |
Screen |
|
Close |
|
Quit |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3.18. О переходе к пределу в неравенствах.
Пусть f : A ! B; A Rk; B R и пусть ! конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A.
Определение 73. Говорят, что выполняется неравенство f > 0 (f 0) вблизи !;, если
9U (!) такая, что 8x 2 A \ U (!) выполняется неравенство f(x) > 0 (f(x) 0).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 74. Говорят, что выполняется неравенство f < 0 (f 0) вблизи !, если
9U (!) такая, что 8x 2 A \ U (!) выполняется неравенство f(x) < 0 (f(x) 0).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
lim x!!
Теорема 33. Если f > 0 (f 0) вблизи ! и f(x) = a; то a 0.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
