Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Пример 53. Показать, что 8n 2 N:

1

lim xn = 0: x!+1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение.

В примере 51 мы показали, что 8n 2 N:

lim xn = +1; x!+1

т.е. функция f(x) := xn бесконечно большая при x ! +1: Следовательно, в силу теоре-

мы 29, функция (x) := f(1x) = x1n является бесконечно малой при x ! +1:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 54. Показать, что

lim ax = +1 (0 < a < 1):

x!-1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание. Функция (t) := at; 0 < a < 1; бесконечно малая при t ! +1 (см. пример 50). Следовательно, в силу теоремы 29, функция f(t) := = a1t; 0 < a < 1;

является бесконечно большой при t ! +1:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 55. Показать, что

lim ax = 0 (a > 1):

x!-1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3.17.Теоремы о пределе функций.

Пусть '; f : A ! B; A Rk; B R и пусть ! конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 30. Пусть

lim f(x) = a; lim '(x) = b:

x!! x!!

Тогда

lim (f(x) + '(x)) = a + b:

x!!

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Фиксируем произвольную (xn); xn 2 A n f!g; и xn ! !.

!

Из выделенного синим цветом следует, по

определению Гейне, что lim (f(x) + '(x)) =

x!!

a + b:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit