Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
8.08 Mб
Скачать

Пример 51. Показать, что

lim ax = +1; (a > 1):

x!+1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Фиксируем произвольное " > 0:

1. Если 0 < " 1; то, полагая = 1; получим, что 8x > = 1 : ax > a > 1 " (см.

рис. 3.10, случай a > 1).

2. Если же " > 1; то, учитывая, что

 

(ax > ")

3:2:5

(x > loga ") ;

Тогда x > : a

 

()

 

положим = loga

":

 

8

 

x > ":

 

 

 

 

 

Из выделенного синим цветом следует, по

определению 66, что lim ax = +1:

x!+1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 52. Показать, что 8n 2 N:

lim xn = +1: x!+1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение.

x +

x

 

= +

8" > 0 9 > 0 такое, что

 

 

n

 

66

 

lim

 

 

 

1 ()x ((x > ) = (xn > ")) :

! 1

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

)

Фиксируем n 2 N и произвольное " > 0: Учитывая, что

 

 

 

 

3:2:3

 

 

 

 

 

(xn

> ")

 

x > p" ;

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

положим =

p": Тогда

 

 

 

x > : xn > ": Из

 

 

 

 

цветом следует, по опре-

выделенного синим()

n

= +1:

 

 

 

lim

делению 66, что x!+1 x

 

 

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3.16. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

Пусть f : A ! B; A Rk; B R и ! есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A.

Определение 72. Говорят, что f 6= 0 вблизи

!; если 9U (!) такая, что 8x 2 A \ U (!) : f(x) 6= 0.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 29. Если функция : A ! B бесконечно малая при x ! ! и 6= 0 вблизи !, то функция f = 1 - бесконечно большая при x ! !. Обратно, если функция f : A ! B бесконечно большая при x ! ! и f 6= 0 вблизи !, то функция = 1f - бесконечно малая при x ! !.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Первая

 

часть

утвержде-

ния теоремы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( : A B бесконечно малая при x

 

 

!)

?

( = 0 вблизи !)

 

 

 

 

!

 

 

=

6

1!

x

 

 

 

 

 

68

 

 

 

 

 

! ( )

!

()

f =

 

- бесконечно большая при x

 

 

!

)

(8(xn); xn 2 A n f!g; и xn

 

 

! : f(xn)1 ()) :

 

 

 

 

lim f x

 

=

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

! 1

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Фиксируем произвольную (xn); xn 2 A n f!g;

и xn

!!

!.

 

 

 

 

 

!

 

 

)

 

 

 

!

 

>9

8

 

6

 

 

 

 

 

 

!)

( (xn)

0)

( : A

B бесконечно малая при x

 

 

=

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

72

 

 

 

 

 

>

 

( = 0 вблизи !)

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

>

 

(xn

 

!)

 

U (!) такая, что x

 

A

U (!) : (x) = 0

=

 

 

 

 

 

8

2

 

 

\

=

 

 

 

6

 

=

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

опр.19

 

 

 

 

>

)

 

 

!

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

9

 

 

2

 

 

 

8

 

 

 

2

 

 

 

>

8

 

 

 

( N = N( )

 

N такое, что

 

 

n > N : xn

 

U (!))

>

 

 

 

 

 

(xn)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

n > N : f(xn) =

 

и f(xn)

! 1

:

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из выделенного синим цветом следует, по

определению Гейне, что lim f(x) = 1:

x!!

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Обратно.

!

 

!

 

6

B бесконечно большая при x

!)

(f A

 

 

(f =: 0 вблизи !)

 

 

 

 

 

 

 

= 1f - бесконечно малая при x ! !

lim (x) = 0 x!!

?

=)

63

()

()

(8(xn); xn 2 A n f!g; и xn ! ! : (xn) ! 0) :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Фиксируем произвольную (xn); xn 2 A n f!g;

и xn

!

 

!.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

)

 

 

 

! 1

 

 

6

B бесконечно большая при x

 

 

 

(f(xn)

)

 

(f : A

 

 

 

 

 

!) =

 

>

(f = 0 вблизи !)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

72

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

9

(xn

 

 

!

 

 

U (!)

 

 

 

 

 

 

x A U (!) : f(x) = 0

 

>

 

 

!)

 

 

 

 

 

 

8

 

2

 

 

\

=

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

9

 

такая, что

 

 

 

25

 

 

 

6

 

>

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

!

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

9

 

 

2

N такое, что

8

n > N : xn

2

U (!))

>

 

8

 

 

(

N = N( )

 

 

 

>

)

 

 

 

 

 

 

 

 

и (xn)

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

=

 

n > N : (xn) =

f(xn)

 

 

 

0 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

Из выделенного синим цветом следует, по

определению Гейне, что lim (x) = 0:

x!!

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit