Пример 51. Показать, что
lim ax = +1; (a > 1):
x!+1
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. Фиксируем произвольное " > 0:
1. Если 0 < " 1; то, полагая = 1; получим, что 8x > = 1 : ax > a > 1 " (см.
рис. 3.10, случай a > 1).
2. Если же " > 1; то, учитывая, что
|
(ax > ") |
3:2:5 |
(x > loga ") ; |
Тогда x > : a |
|
() |
|
положим = loga |
": |
|
8 |
|
x > ": |
|
|
|
|
|
Из выделенного синим цветом следует, по
определению 66, что lim ax = +1:
x!+1
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 52. Показать, что 8n 2 N:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение.
x + |
x |
|
= + |
8" > 0 9 > 0 такое, что |
|
|
n |
|
66 |
|
lim |
|
|
|
1 ()x ((x > ) = (xn > ")) : |
! 1 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
) |
Фиксируем n 2 N и произвольное " > 0: Учитывая, что
|
|
|
|
3:2:3 |
|
|
|
|
|
(xn |
> ") |
|
x > p" ; |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
положим = |
p": Тогда |
|
|
|
x > : xn > ": Из |
|
|
|
|
цветом следует, по опре- |
выделенного синим() |
n |
= +1: |
|
|
|
lim |
делению 66, что x!+1 x |
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
3.16. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
Пусть f : A ! B; A Rk; B R и ! есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A.
Определение 72. Говорят, что f 6= 0 вблизи
!; если 9U (!) такая, что 8x 2 A \ U (!) : f(x) 6= 0.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 29. Если функция : A ! B бесконечно малая при x ! ! и 6= 0 вблизи !, то функция f = 1 - бесконечно большая при x ! !. Обратно, если функция f : A ! B бесконечно большая при x ! ! и f 6= 0 вблизи !, то функция = 1f - бесконечно малая при x ! !.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство. Первая |
|
часть |
утвержде- |
ния теоремы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( : A B бесконечно малая при x |
|
|
!) |
? |
( = 0 вблизи !) |
|
|
|
|
! |
|
|
= |
6 |
1! |
x |
|
|
|
|
|
68 |
|
|
|
|
|
! ( ) |
! |
() |
f = |
|
- бесконечно большая при x |
|
|
! |
) |
(8(xn); xn 2 A n f!g; и xn |
|
|
! : f(xn)1 ()) : |
|
|
|
|
lim f x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
! 1 |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Фиксируем произвольную (xn); xn 2 A n f!g; |
и xn |
!! |
!. |
|
|
|
|
|
! |
|
|
) |
|
|
|
! |
|
>9 |
8 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
!) |
( (xn) |
0) |
( : A |
B бесконечно малая при x |
|
|
= |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
> |
|
( = 0 вблизи !) |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
> |
|
(xn |
|
!) |
|
U (!) такая, что x |
|
A |
U (!) : (x) = 0 |
= |
|
|
|
|
|
8 |
2 |
|
|
\ |
= |
|
|
|
6 |
|
= |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
опр.19 |
|
|
|
|
> |
) |
|
|
! |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
9 |
|
|
2 |
|
|
|
8 |
|
|
|
2 |
|
|
|
> |
8 |
|
|
|
( N = N( ) |
|
N такое, что |
|
|
n > N : xn |
|
U (!)) |
> |
|
|
|
|
|
(xn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
n > N : f(xn) = |
|
и f(xn) |
! 1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выделенного синим цветом следует, по
определению Гейне, что lim f(x) = 1:
x!!
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Обратно. |
! |
|
! |
|
6 |
B бесконечно большая при x |
!) |
(f A |
|
|
(f =: 0 вблизи !) |
|
|
|
|
|
|
|
= 1f - бесконечно малая при x ! !
lim (x) = 0 x!!
(8(xn); xn 2 A n f!g; и xn ! ! : (xn) ! 0) :
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Фиксируем произвольную (xn); xn 2 A n f!g; |
и xn |
! |
|
!. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
) |
|
|
|
! 1 |
|
|
6 |
B бесконечно большая при x |
|
|
|
(f(xn) |
) |
|
(f : A |
|
|
|
|
|
!) = |
|
> |
(f = 0 вблизи !) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
9 |
(xn |
|
|
! |
|
|
U (!) |
|
|
|
|
|
|
x A U (!) : f(x) = 0 |
|
> |
|
|
!) |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
2 |
|
|
\ |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
такая, что |
|
|
|
25 |
|
|
|
6 |
|
> |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
! |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
2 |
N такое, что |
8 |
n > N : xn |
2 |
U (!)) |
> |
|
8 |
|
|
( |
N = N( ) |
|
|
|
> |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
и (xn) |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
= |
|
n > N : (xn) = |
f(xn) |
|
|
|
0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
Из выделенного синим цветом следует, по
определению Гейне, что lim (x) = 0:
x!!
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit