Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Пример 51. Показать, что

lim ax = +1; (a > 1):

x!+1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Фиксируем произвольное " > 0:

1. Если 0 < " 1; то, полагая = 1; получим, что 8x > = 1 : ax > a > 1 " (см.

рис. 3.10, случай a > 1).

2. Если же " > 1; то, учитывая, что

Из выделенного синим цветом следует, по

определению 66, что lim ax = +1:

x!+1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 52. Показать, что 8n 2 N:

lim xn = +1: x!+1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение.

Фиксируем n 2 N и произвольное " > 0: Учитывая, что

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3.16. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

Пусть f : A ! B; A Rk; B R и ! есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A.

Определение 72. Говорят, что f 6= 0 вблизи

!; если 9U (!) такая, что 8x 2 A \ U (!) : f(x) 6= 0.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 29. Если функция : A ! B бесконечно малая при x ! ! и 6= 0 вблизи !, то функция f = 1 - бесконечно большая при x ! !. Обратно, если функция f : A ! B бесконечно большая при x ! ! и f 6= 0 вблизи !, то функция = 1f - бесконечно малая при x ! !.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Из выделенного синим цветом следует, по

определению Гейне, что lim f(x) = 1:

x!!

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

(8(xn); xn 2 A n f!g; и xn ! ! : (xn) ! 0) :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Из выделенного синим цветом следует, по

определению Гейне, что lim (x) = 0:

x!!

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit