Пусть f : A ! B; A Rk; B R и ! есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A.
Определение 65. Предел функции f : A ! B
при x ! ! равен бесконечности, если
8" > 0 9U (!) такая, что 8x 2 A \ U (!) : jf(x)j > ":
Тот факт, что предел функции f : A ! B при x ! ! равен бесконечности, записывают так:
lim f(x) = 1 или f(x) ! 1 при x ! !:
x!!
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A Rn;
lim f(x) = 1 x!x0
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A R;
lim f(x) = 1 x!x0
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A Rn;
lim f(x) = 1 x!1
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A R;
lim f(x) = 1 x!1
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пусть f : A ! B; A Rk; B R и ! есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A.
Определение 66. Предел функции f : A ! B
при x ! ! равен плюс бесконечности, ес-
ли 8" > 0 9U (!) такая, что 8x 2 A\U (!) : f(x) > ":
Тот факт, что предел функции f : A ! B при x ! ! равен плюс бесконечности, записывают так:
lim f(x) = +1 или f(x) ! +1 при x ! !:
x!!
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A Rn;
lim f(x) = + 1
x!x0
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A R;
lim f(x) = + 1
x!x0
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A Rn;
lim f(x) = + 1
x!1
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A R;
lim f(x) = + 1
x!1
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
lim x!!
Определение 67. Предел функции f : A ! B
при x ! ! равен минус бесконечности, ес-
ли 8" > 0 9U (!) такая, что 8x 2 A\U (!) : f(x) < -":
Тот факт, что предел функции f : A ! B при x ! ! равен минус бесконечности, записывают так:
f(x) = -1 или f(x) ! -1 при x ! !:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A Rn;
lim f(x) = - 1
x!x0
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A R;
lim f(x) = - 1
x!x0
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A Rn;
lim f(x) = - 1
x!1
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A R;
lim f(x) = - 1
x!1
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
ТРЕНАЖЁР
f : A ! Rm; A R;
lim f(x) = 1 x!+ 1
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A R;
lim f(x) = 1 x!+ 1
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A R;
lim f(x) = + 1
x!+ 1
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A R;
lim f(x) = + 1
x!- 1
ТРЕНАЖЁР
f : A ! Rm; A R;
lim f(x) = 1 x!- 1
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A R;
lim f(x) = 1 x!- 1
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A R;
lim f(x) = - 1
x!+ 1
ТРЕНАЖЁР
f : A ! R; A R;
lim f(x) = - 1
x!- 1
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 68. Функция f : A ! B называется бесконечно большой при x ! !, если
lim f(x) = 1 или lim f(x) = 1. x!! x!!
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО КОШИ Иллюстрация
1
x!3
lim (x - 3)2 = 1:
Движком “M” фиксируем " = M > 0.
1 > 0 и 2 > 0 – задают максимальный интервал, удовлетворяющий условию: 8x 2 (3 - 1; 3 + 2) выполняется неравенство
Значения 1 > 0 и 2 > 0 можно найти автоматически или перемещая вертикальные оранжевые линии мышкой с нажатой левой кнопкой.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО КОШИ Иллюстрация
lim (x - 3)3 + 10 = 1:
x!1
Движком “M” фиксируем " = M > 0.
Значение = N > 0 – задаёт максимальный интервал, удовлетворяющий условию: 8x 2 ( ; 1) выполняется неравенство f(x) = (x - 3)3 + 10 > M.
Значение = N > 0 можно найти автоматически или перемещая вертикальную оранжевую линию мышкой с нажатой левой кнопкой.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определения бесконечных пределов функции f : A ! B на языке последовательностей:
Определение 69. Предел функции f : A ! B при x ! ! равен бесконечности, если
8(xn); xn 2 A n f!g и xn ! ! : f(xn) ! 1:
Определение 70. Предел функции f : A ! B при x ! ! равен плюс бесконечности, если
8(xn); xn 2 A n f!g и xn ! ! : f(xn) ! +1:
Определение 71. Предел функции f : A ! B при x ! ! равен минус бесконечности, если
8(xn); xn 2 A n f!g и xn ! ! : f(xn) ! -1:
Определения 65, 66, 67 называют “определениями Коши”, а определения 69, 70, 71 “определениями Гейне”. Можно показать эквивалентность соответствующих определений по Коши и Гейне (см. формулировку и доказательство теоремы 26).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
