Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Фиксируем произвольное " > 0:

Из выделенного синим цветом следует, по определению 57, что

lim 1 + 1 x = e:

x!1 x

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 63. Функция f : A ! B называется бесконечно малой при x ! !, если

lim f(x) = 0. x!!

Бесконечно малые функции при x ! ! будем обозначать буквами ; ; ; : : : :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 28. Пусть f : A ! B; A Rk; B R

и ! есть предельная точка множества A. Для того, чтобы

lim f(x) = a 2 R;

x!!

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

f(x) = a + (x);

где (x) есть бесконечно малая при x !

!:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Необходимость.

Обозначим через (x) = f(x) - a.

Покажем, по определению Гейне, что (x) есть бесконечно малая при x ! !. Фиксируем произвольную (xn); xn 2 A n f!g; и xn ! !.

Из выделенного синим цветом следует, по

определению Гейне, что lim (x) = 0:

x!!

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Достаточность. Фиксируем произвольную (xn); xn 2 A n f!g; и xn ! !.

(f(xn) ! a) :

Из выделенного синим цветом следует, по

определению Гейне, что lim f(x) = a:

x!!

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 50. Показать, что

lim ax = 0; (0 < a < 1):

x!+1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Фиксируем произвольное " > 0:

1. Если " 1; то, полагая = 1; получим, что 8x > = 1 : ax < 1 " (см. рис. 3.10,

случай 0 < a < 1).

2. Если же 0 < " < 1; то, учитывая, что

Из выделенного синим цветом следует, по

определению 61, что lim ax = 0:

x!+1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3.15.Бесконечно большие отображения и

функции.

Пусть f : A ! B; A Rk; B Rm и ! есть конечная или бесконечно удалённая предельная точка множества A.

Определение 64. Предел отображения f : A ! B при x ! ! равен бесконечности,

если 8U"(1) 9U (!) такая, что 8x 2 A \

U (!) : f(x) 2 U"(1):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тот факт, что предел отображения f при x ! ! равен бесконечности, записывают так:

f(x) = 1 или f(x) ! 1 при x ! !:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit