Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Пусть A R; B R, A0 - множество всех предельных точек множества A и +1 2 A0.

Определение 61. (Коши) Число a 2 R назы-

вается пределом функции f : A ! B при x ! +1 2 A0; если 8" > 0 9 > 0 такое, что

8x 2 A и x > : jf(x) - aj < ":

Обозначение: lim f(x):

x!+1

ТРЕНАЖЁР

f : A ! R; A R;

lim f(x) = a x!+ 1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 62. (Гейне) Число a 2 R назы-

вается пределом функции f : A ! B при x ! +1 2 A0; если

8(xn); xn 2 A и xn ! +1 : f(xn) ! a:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

ТРЕНАЖЁР

f : A ! Rm; A R;

lim f(x) = a 2 Rm x!1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Фиксируем произвольное " > 0:

В силу свойства монотонности показательной функции справедливы неравенства

(3.5)

где [x] целая часть x, т.е. наибольшее целое число не превосходящее x:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если x > 1 + N; то [x] > N: Положим = N = maxfN1; N2g:

Тогда, учитывая (3.5) и (3.6), получаем, что

Из выделенного синим цветом следует, по определению 61, что

Пример 48. Показать, что

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тогда

Из выделенного синим цветом следует, по

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 49. Показать, что

lim 1 + 1 x = e:

x!1 x

Решение.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit