Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

3.12.Предел композиции отображений.

Теорема 27. Пусть f : A ! B; A Rk; B Rm; и ' : B !

C; C Rp: Пусть, далее, x0 есть предельная точка множества A; y0 есть предельная точка множества B: Если

lim f(x) = y0; f(x) 6= y0 при x 6= x0;

x!x0

lim '(y) = z0;

y!y0

то

lim '(f(x)) = z0:

x!x0

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

>

;

(8x 2 A \ U (x0) : ' f(x) 2 U"(z0)) :

Из выделенного синим цветом следует, по определению Коши, что

lim ' f(x) = z0:

x!x0

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Эта теорема позволяет производить замену переменной при вычислении пределов.

Пример 46. Вычислить:

lim sin (1 - t2): t!1

Решение. Делаем замену переменной: x = 1 - t2:

При t ! 1 имеем: x ! 0; x 6= 0; если t 6= 1: По теореме 27 о пределе композиции:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3.13. Предел отображения при стремлении аргумента к

бесконечности.

Пусть A Rk; B Rm, A0 - множество всех предельных точек множества A и 1 2 A0.

Определение 55. (Коши) Точка a 2 Rm на-

зывается пределом отображения f : A !

B при x ! 1 2 A0; если 8U"(a) 9U (1) такая, что 8x 2 A \ U (1) : f(x) 2 U"(a):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 56. (Гейне) Точка a 2 Rm на-

зывается пределом отображения f : A !

B при x ! 1 2 A0; если

8(xn); xn 2 A и xn ! 1 : f(xn) ! a:

Обозначение: lim f(x):

x!1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пусть A R; B R, A0 - множество всех предельных точек множества A и 1 2 A0.

Определение 57. (Коши) Число a 2 R назы-

вается пределом функции f : A ! B при x ! 1 2 A0; если 8" > 0 9 > 0 такое, что

8x 2 A и jxj > : jf(x) - aj < ":

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 58. (Гейне) Число a 2 R назы-

вается пределом функции f : A ! B при x ! 1 2 A0; если

8(xn); xn 2 A и xn ! 1 : f(xn) ! a:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пусть A R; B R, A0 - множество всех предельных точек множества A и -1 2 A0.

Определение 59. (Коши) Число a 2 R назы-

вается пределом функции f : A ! B при x ! -1 2 A0; если 8" > 0 9 > 0 такое, что

8x 2 A и x < - : jf(x) - aj < ":

Обозначение: lim f(x):

x!-1

ТРЕНАЖЁР

f : A ! R; A R;

lim f(x) = a x!- 1

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 60. (Гейне) Число a 2 R назы-

вается пределом функции f : A ! B при x ! -1 2 A0, если

8(xn); xn 2 A и xn ! -1 : f(xn) ! a:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit