Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

3.11.Предел отображения по Гейне.

Пусть A Rk; B Rm и A0 - множество всех предельных точек множества A.

Определение 54. (Гейне) Точка a 2 Rm называется пределом отображения f : A !

B при x ! x0 2 A0, если

8(xn); xn 2 A n fx0g и xn ! x0 : f(xn) ! a:

Это определение предела отображения по Гейне. Предел отображения по Гейне обозначим через (H) f(x):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 26. Пусть f : A ! B; A Rk; B

Rm и x0 есть предельная точка множества A:

Тогда, если существует один из двух пределов:

(C) lim f(x); (H) lim f(x);

x!x0 x!x0

- то существует и второй, и эти пределы равны.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. 1. Покажем, что

?

(C) lim f(x) = a =)

x!x0

(H) lim f(x) = a =)

x!x0

(8(xn); xn 2 A n fx0g; и xn ! x0 : f(xn) ! a) :

Фиксируем произвольную (xn); xn 2 A n fx0g; и xn ! x0.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2. Пусть (H) lim f(x) = a: Покажем, что то-

x!x0

гда существует и предел (C) lim f(x); рав-

x!x0

ный a: Далее будем доказывать методом от противного. Предположим, что a не является пределом отображения f по Коши. Это значит, что найдётся U"0(a) такая, что в лю-

бой U (x0) существует точка, образ которой не принадлежит U"0(a).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Рассмотрим последовательность n = 1=n:

Тогда для любого n 2 N найдётся точка xn 2 A \ U n(x0) такая, что f(xn) 2= U"0(a). Заме-

тим, что, в силу выбора последовательности

n = 1=n, последовательность (xn) сходится к точке x0, но соответствующая последова-

тельность (f(xn)) не сходится к точке a (вне U"0(a) находится бесконечно много членов (f(xn)), см. определение 20). Получили противоречие с тем, что (H) f(x) = a:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак, нет необходимости каждый раз указывать, какой предел функции имеется в виду - предел по Гейне, или предел по Коши.

Мы будем писать просто lim f(x):

x!x0

Различные определения предела функции доставляют различные способы вычисления предела.

Иногда предпочтительнее пользоваться определением предела функции по Гейне, иногда - по Коши.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение Гейне часто используют для

того, чтобы доказать, что lim f(x) не суще-

x!x0

ствует. Для этого достаточно:

построить последовательность (xn); xn ! x0 такую, что соответствующая последовательность (f(xn)) не имеет предела;

или построить две различные последовательно-

сти, сходящиеся к x0; для которых соответствующие последовательности значений функции имеют различные пределы.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 45. Показать, что функция f(x) = sin x1

не имеет предела при x ! 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Возьмём две последовательности

)

Итак, функция f(x) = sin x1 не имеет преде-

ла при x ! 0; так как для двух различных последовательностей значений аргумента, сходящихся к 0; получили различные пределы соответствующих последовательностей значений функции.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit