Пример 39. Показать, что
(C) lim sin x = 0: x!0
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. |
x = 0 |
|
(8" > 0 9 > 0 такое, |
(C) x 0 |
50 |
что8x ((0 < x ()) = ( |
))) |
|
lim sin |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
j j < |
|
j sin xj < " |
: |
|
|
|
|
|
Фиксируем произвольное " > 0: |
|
|
|
|
|
|
рассуждений состо- |
|
) |
|
|
|
Цель наших дальнейших |
|
|
|
|
ит в выделении U (0), в которой выполня- |
ется неравенство |
|
|
|
|
|
|
jsin xj < ":
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Первый способ выделения U (0):
a) Если " > 1; то неравенство j sin xj 1 < " выполняется для всех x 2 R и можно положить = 1:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
b) Пусть " 1: Произведем сначала ряд тождественных преобразований.
|
(j sin xj < ") 10:16 (-" < sin x < ") arcsin |
(- |
|
" < x < |
()( |
") |
10:16 |
( x < |
|
() |
|
|
|
|
()) |
|
|
(arcsin -") < x < arcsin ") |
|
Выберем = arcsin ("): |
|
() |
j j |
|
(3.1) |
|
arcsin |
|
arcsin |
|
|
arcsin " |
Тогда, в силу (3.1), имеем, что
8x ((0 < jxj < = arcsin ") =) (j sin xj < ")) :
Из выделенного синим цветом следует, по
определению 50, что (C) lim sin x = 0:
x!0
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Сравнивая площади фигур, имеем
|
|
|
|
|
sin x < x |
< tg x: |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделим эти неравенства на sin x |
(sin x > |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
0): Тогда 1 < |
|
|
|
< |
|
и, следовательно, |
|
sin x |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x 2 |
0; |
|
: |
cos x < |
sin x |
< 1: |
(3.3) |
|
|
|
|
|
2 |
x |
В силу чётности функций cos x и sin x; нера- |
x |
|
венства (3.3) имеют место и для всех x |
2 |
-2; 0 : |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Покажем, далее, что для всех x 2 Rnf0g имеет место неравенство j sin xj < jxj: Действительно, если 0 < jxj < 2, то доказываемое неравенство следует из (3.2). Если же jxj 2 > 1; то, учитывая, что 8x 2 R : j sin xj 1; неравенство j sin xj < jxj также имеет место. Итак, мы доказали, что
8x 2 R n f0g : j sin xj < jxj: |
(3.4) |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Так как, в силу (3.4), 8x 2 R n f0g : j sin xj < jxj; то положим = ": Тогда
8x ((0 < jxj < = ") =) (j sin xj < ")) :
Из выделенного синим цветом следует, по
определению 50, что (C) lim sin x = 0:
x!0
Заметим, что, если удалось найти одно ; удовлетворяющее определению 50, то таких = (") бесконечно много. При этом, для решения поставленной задачи, не обязательно выбирать максимально большую
U (0):
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 40. Показать, что
(C) lim cos x = 1: x!0
Пример 41. Показать, что
8x0 > 0 : (C) lim loga x = loga x0; x!x0
где a > 0; a 6= 1:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 42. Показать, что
(C) lim ax = 1;
x!0
где a > 0; a 6= 1:
Пример 43. Показать, что
(C) lim arcsin x = 0: x!0
Пример 44. Показать, что
(C) lim arctg x = 0: x!0
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
