Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

3.7. Соглашение об области определения элементарных функций.

При задании функции нужно обязательно указать её область определения. Но на практике часто нахождение области определения функции является одной из задач математического анализа. Для элементарных функций принято следующее соглашение:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если элементарная функция f задана формулой и не указана её область определения, то условились считать в качестве области определения такой функции множество значений аргумента для которых, пользуясь формулой задающей функцию f; можно вычислить значение функции. Так определённая область определения элементарной функции f называется естественной областью определения функции f и обозначается

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3.8. Найти естественную область определения элементарной функции.

Пример 36. Задана функция

p

f(x) = x2 - 2x - 3:

Найти естественную область определения функции f:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Естественной областью определе-

p

ния функции f(x) = x2 - 2x - 3 является множество значений аргумента для которых

x2 - 2x - 3 0:

Корнями квадратного уравнения x2-2x-3 = 0 являются числа (-1) и 3 (см. раздел 3.2.2)

и неравенство x2 - 2x - 3 0 выполняется на

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 37. Задана функция

r

f(x) = - sin2 x:

Найти естественную область определения функции f:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Естественной областью определе-

q

ния функции f(x) = - sin2 x является множество значений аргумента для которых

- sin2 x 0:

Итак

Следовательно, dom f – множество изолиро-

ванных точек.

Ответ: domf = fxn = n1 ; n 2 Zg:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 38. Задана функция

f(x; y) = ln (9 - x2 - y2):

Найти естественную область определения функции f:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Естественной областью определения функции f(x; y) = ln (9 - x2 - y2) явля-

ется множество точек (x; y) 2 R2 для кото-

рых 9 - x2 - y2 > 0 (см. раздел 3.2.5). Ответ: domf = f(x; y) 2 R2 j x2 + y2 < (3)2g –

круг радиуса 3 с центром в начале координат.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3.9. Кусочно - элементарные функции одной переменной.

Функция f называется кусочно - элементарной, если её область определения можно представить в виде объединения интервалов (сегментов, полусегментов) не нулевой длины, на каждом из которых функция f уже

элементарная.

Кусочно - элементарные функции часто задаются с помощью операции f.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Примеры.

x; если x < 0

1) f(x) = x1; если x > 0

Область определения функции f можно представить как объединение двух интервалов (-1; 0) и (0; +1), на каждом из которых

2) Функция y = [x] - целая часть x, равная наибольшему целому числу, не превышающему x, является кусочно - элементарной.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit