Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
8.08 Mб
Скачать

3.2.3.Степенная функция.

Степенная функция y = x . Если - иррационально, то область определения степенной функции (0; 1), так как в элементарной математике степень с иррациональным показателем определена только для положительного основания (см. рис. 3.8). Если же

= m рационально, то степенная функция y = xm может быть

n

n

задана и на отрицательной полуоси оси абсцисс (см. рис. 3.9).

m p

Записывая y = x n = n xm получаем, что:

при m чётном x 2 (-1; +1);

при m нечётном и n нечётном x 2 (-1; +1); при m нечётном и n чётном x 2 [0; +1):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

y

 

> 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

0 < < 1

 

 

 

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

< 0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

x

 

 

Рис.

3.8

Типичные

графики

сте-

 

 

пенной

функции

y

=

x

на

по-

 

 

ложительной

полуоси

оси

абсцисс

 

 

 

 

First

Prev

Next

Last Go Back

Full Screen

Close

Quit

 

 

> 1

y

 

 

 

 

 

 

= 1

m – чётное

 

 

 

 

0 < < 1

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

< 0

 

 

 

 

< 0

 

0

x

 

 

 

 

0 < < 1

 

 

 

 

= 1

m; n – нечётные

 

 

 

 

 

 

> 1

 

 

Рис. 3.9 Типичные графики степенной функции

y

= x на

отрицательной полуоси

оси абсцисс

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3.2.4.Показательная функция.

Показательная функция y = ax; a > 0; a 6= 1: Основные свойства показательной функции: Область определения - (-1; +1); Множество значений - (0; +1);

Возрастает при a > 1; 8x 2 R; Убывает при 0 < a < 1; 8x 2 R:

На рис. 3.10 изображены типичные графики показательной функции.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

 

y

 

 

 

 

 

a > 1

 

 

0 < a < 1

 

 

 

0

 

 

x

 

 

Рис. 3.10 Типичные графики по-

 

 

казательной

функции

y

=

ax

 

 

 

First Prev Next

Last

Go Back

Full Screen

Close

Quit

3.2.5.Логарифмическая функция.

Логарифмическая функция y = loga x; a > 0; a 6= 1: Логарифмическая функция определяется как функция обратная показательной функции.

Основные свойства логарифмической функции:

Область определения - (0; +

 

);

 

 

 

 

 

 

 

 

Множество значений - (- ; +

 

 

);

 

 

 

 

 

8

8

2

2

1+

1

 

 

 

 

 

Возрастает при a > 1; x

 

 

(

 

 

 

);

 

 

 

 

loga x =

 

 

0;

 

 

;

1

 

 

a x =

Убывает при 0 < a < 1;

 

x1

(

1+

 

 

)

:

 

 

 

 

 

 

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

logb x

 

 

log

 

ln x

 

 

 

logb a

 

 

 

ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 3.11 изображены типичные графики логарифмической функции.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a > 1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

a 1 a

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

0 < a < 1

 

 

Рис. 3.11 Типичные графики лога-

 

 

рифмической

функции

y

=

loga x

 

 

 

 

First Prev Next

Last

Go Back

Full Screen

Close

Quit

3.2.6.

Тригонометрическая функция синус.

Пусть A - точка окружности с центром в начале координат и

радиусом, равным единице, - угол между осью абсцисс и на-

 

--

 

 

 

 

правленным отрезком OA, отсчитываемый от положительного

направления оси абсцисс!(см. рис. 3.12). При этом если отсчёт

ведётся против часовой стрелки, то величина угла считается по-

ложительной, а если по часовой стрелки - отрицательной.

 

 

y

 

 

 

 

 

y1

A

 

 

 

-1

 

x

 

x

 

0

1

 

 

-1

 

 

 

 

Рис. 3.12 Определение y = sin x

 

First

Prev

Next

Last

Go Back Full Screen Close Quit

Если (x ; y ) - прямоугольные декартовы координаты точки

A, то тригонометрическая функция синус (обозначение sin ) определяется формулой

sin = y :

ФУНКЦИЯ СИНУС При перемещении движка “angle” рисуется график тригономет- рической функции синус.

Основные свойства тригонометрической функции синус:

Область определения - (-

 

; +

 

 

);

 

 

Множество значений - [-1; 1];

 

 

 

 

 

Периодическая, период

равен 2 ;

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

 

 

Нечётная;

(

+ )

 

 

(

 

+ )

 

 

 

 

 

 

Возрастает при x 2

(4n-1)

;

 

(4n+1)

; n 2 Z;

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

Убывает при x 2

 

 

4n 1

;

4n

 

3

; n 2 Z

;

 

 

2

 

 

 

2

 

 

y = sin x

см. рис.

3.13.

График функции

 

 

 

 

 

 

 

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

 

 

y

 

 

 

 

1

 

 

-2

-

 

 

3

2

2

2

-32 -

 

0

2 x

 

 

 

 

 

-1

Рис. 3.13 График функции y = sin x

ФУНКЦИЯ СИНУС

:

Установите значение параметра “c”: c = 1: Посмотрите как меняется график функции

y = d sin

c

x - c

+ b

 

1

 

a

 

в зависимости от значений параметров a; b; c и d:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit