Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

3.1.1.Способы задания функций.

1.Аналитический способ.

Пусть задана область определения функции A; область значений B и выражение зависимой переменной через независимую вида: y = f(x); где f(x) есть так называемая формула, по которой для всех x 2 A вычисляются значения y 2 B:

Аналитический способ удобен экономичностью записи. Однако, у него ограниченная сфера применения. Не каждая функция, с которой приходится иметь дело, может быть задана аналитически.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3. Алгоритмический способ.

Говорят, что функция f задана алгоритмически, если задан способ вычислений, позволяющий по заданному значению аргумента в конечное число шагов получить значение функции. Алгоритмический способ вычисления функции реализован в виде встроенных программ вычисления значений функций в компьютерах, калькуляторах.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

4. Табличный способ.

В прошлом очень распространенный способ (обширные таблицы логарифмов и т.д.).

С развитием математического анализа появляются новые способы задания функций.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3.1.2.Простейшая классификация отображений.

Про отображение f : A ! B говорят, что оно

сюръективно (или есть отображение A на B), если f(A) = B;

инъективно (или есть вложение, инъекция), если для любых элементов x1; x2 множества A

(f(x1) = f(x2)) =) (x1 = x2);

т.е. различные элементы имеют различные образы;

биективно (или взаимно однозначно), если оно сюръективно и инъективно одновременно.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ

Обозначим через L множество упорядоченных пар (x; y) 2 R2, которое на иллюстрации имеет вид гладкой кривой. Движками “polynomial terms:” можно изменить вид этого множества, а движком “zoom” масштаб его отображения.

Вертикальную и горизонтальную тест-линии можно передвигать движками “horizontal” и “vertical”, соответственно. При этом линии окрашиваются в зелёный или красный цвет.

Обозначим через D множество точек оси абсцисс, проходя через которые вертикальная линия пересекает кривую L и окрашивается в зелёный цвет. Это множество является областью определения функции f : D -! R и graff L.

Обозначим через B множество значений функции f.

Если горизонтальные линии проходящие через каждую точку y 2 B пересекают graff в единственной точке, то функция f : D -! B биекция. В противном случае отображение f : D -! B сюръективно.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если же отображение f : A ! B не является биективным, то для любого y0 2 f(A) B необходимо найдётся такое x0 2 A, что

f(x0) = y0;

но подобных значений x0 может оказаться и несколько. В этих случаях говорят, что обратное отображение многозначное.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Во многих случаях можно выбрать подмножества A1 A и B1 B так, что отображение f : A1 ! B1 будет биективным (см. рис. 3.3).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3.1.3.1.О графиках прямой и обратной функции.

Пусть A; B R и f : A ! B – биекция. Тогда можно определить обратную ей функцию

f-1 : B ! A: Рассмотрим их графики graff; graff-1 R2, заданные уравнениями: y = f(x); y = f-1(x): Имеем:

Итак:

((x1; y1) 2 graff) () (y1; x1) 2 graff-1 :

Это означает, что графики прямой и обратной функции симметричны относительно биссектрисы 1-3 координатных углов (см. Рис. 3.4).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit