Пример 31. Пользуясь теоремой 25, доказать, что последовательность (xn),
|
1 |
|
1 |
1 |
|
xn = 1 + |
|
+ |
|
+ + |
|
(n = 1; 2; 3; : : :); |
2 |
3 |
n |
расходится.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. Возьмём " = 12: Тогда при любом n и p = n имеет место неравенство
1 |
1 |
|
+ + |
1 |
|
n |
|
1 |
jxn+p-xnj = |
|
+ |
|
|
|
> |
|
= |
|
: |
n + 1 |
n + 2 |
2n |
2n |
2 |
В силу теоремы 25, последовательность (xn) расходится.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пример 32. Пользуясь теоремой 25, доказать, что последовательность (xn),
1 |
1 |
1 |
|
xn = |
|
+ |
|
+ + |
|
(n = 2; 3; : : :); |
ln 2 |
ln 3 |
ln n |
расходится.
Пример 33. Пользуясь критерием Коши, доказать, что последовательность (xn),
xn = |
sin 1 |
+ |
sin 2 |
+ + |
sin n |
(n = 1; 2; 3; : : :); |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
22 |
|
2n |
сходится.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
34. Пользуясь критерием Коши, |
доказать, |
|
что |
последовательность (xn), |
sin 1! |
|
sin 2! |
+ + |
sin n! |
xn = |
|
+ |
|
|
|
(n = 1; 2; 3; : : :); |
1 2 |
2 3 |
n (n + 1) |
сходится. |
|
|
|
|
|
|
Пример 35. Пользуясь критерием Коши, доказать, что последовательность (xn),
|
1 |
|
1 |
1 |
|
xn = 1 + |
|
+ |
|
+ + |
|
(n = 1; 2; 3; : : :); |
22 |
32 |
n2 |
сходится.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Глава 3
Предел отображения
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
3.1.Отображения (функции).
Говорят, что задано отображение из множества A во множество B; если
1)задано множество A; называемое областью определения отображения,
2)задано множество B; называемое областью значений отображения,
3)задан некоторый метод, позволяющий для
каждого a 2 A находить единственное b 2 B: Это значение b 2 B; соответствующее a 2 A; называется значением данного отображения при x = a или короче: значением данного отображения в точке a:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Отображение обычно обозначается латинскими буквами: f; g; : : :- или греческими:
; : : : :
Если отображение обозначено через f; то значение отображения в точке x = a обозначается f(a) и называется образом точки a:
Введем две переменные: x и y: Переменная x может принимать любое значение из области определения A функции f: Переменная x называется независимой переменной.
Равенство: y = f(x) сопоставляет каждому значению независимой переменной x некоторое значение переменной y: Переменная y называется зависимой переменной (y “зависит” от x:)
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Выражение:
f : A ! B - означает:
“f есть отображение A в B:”
f
Так же читается выражение A ! B:
Определение 47. Образом множества C A при отображении f : A ! B называют множество
f(C) := fy 2 Bj9x ((x 2 C) ^ (y = f(x)))g
тех элементов B; которые являются образами элементов множества C:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Определение 48. Множество f(A) называется
множеством значений отображения f : A ! B.
Заметим, что, в общем случае, множество значений отображения не совпадает с областью значений отображения.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
