Определение 46. Последовательность (xn) называется фундаментальной, если 8" > 0 9N = N(") 2 N такое, что 8n > N и 8p 2 N : jxn+p - xnj < ":
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Поставленную задачу решает следующая теорема, принадлежащая чешскому математику Больцано (B. Bolzano) и французскому математику Кош´и (A.E. Cauchy).
Теорема 24. (критерий Коши сходимости последовательности). Числовая последовательность (xn) сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальная.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Доказательство. Необходимость.
Пусть lim xn = a:
Фиксируем произвольное " > 0:
(xn |
опр.24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) = |
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
N |
т.ч. |
|
n > N : jx |
|
- aj < |
|
|
|
= |
8 |
|
|
2 |
9! |
2 N ) |
|
n |
|
|
|
|
) |
8n > N и 8p 2 N : jxn+p - xnj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
" |
|
= " |
|
jxn+p - aj + ja - xnj< |
|
|
+ |
|
|
|
|
2 |
2 |
Из выделенного синим цветом, по определению 46, следует, что последовательность (xn) фундаментальная.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Достаточность. Пусть последовательность (xn) фундаментальная.
Фиксируем произвольное " > 0:
опр.46
((xn) - фундаментальная ) =)
9N = N(") 2 N такое что 8n > N и
|
|
|
|
|
8p 2 N : jxn+p - xnj < |
" |
|
4 |
8p 2 N : a = xn - |
" |
|
< xn+p = yp < xn + |
|
|
4 |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Разделим промежуток [a; b] пополам, тогда хотя бы в одной половине будет содержаться
бесконечное множество элементов последовательности (yp), ибо, в противном случае,
и на всём промежутке [a; b] этих элементов содержалось бы конечное число, что невозможно. Итак, пусть [a1; b1] будет та из половин, которая содержит бесконечное множество чисел yp (или если обе половины таковы, то любая из них).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Аналогично, из промежутка [a1; b1] выделим его половину [a2; b2] – при условии, чтобы в ней содержится бесконечное множество чисел yp и т.д. Продолжая этот процесс до бесконечности, на k-ой стадии его выделим про-
межуток [ak; bk], также содержащий бесконечное множество чисел yp:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Каждый из построенных промежутков (начиная со второго) содержится в предыдущем, составляя его половину. Кроме того длина k-го промежутка, равная
b |
- a |
|
= |
b - a |
= |
" |
; |
k |
|
|
k |
|
|
2k |
|
2 2k |
|
|
|
|
|
стремится к нулю с возрастанием k:
В силу леммы 4, получаем, что (ak) и (bk) стремятся к общему пределу c 2 [a; b]:
Тогда 8n > N : jxn - cj < ":
Из выделенного синим цветом, в силу определения 24, следует, что lim xn = c: 
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Из теоремы 24 видно, что сходящиеся последовательности обладают свойством:
члены последовательности между собой безгранично сближаются по мере возрастания их номеров.
Критерий Коши часто используется при доказательстве теорем о последовательностях.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Замечание 1. Фундаментальные последовательности ввёл Больцано, пытавшийся, не располагая точным понятием вещественного числа, доказать сходимость фундаментальной последовательности. Коши дал такое доказательство, приняв за очевидное лемму о вложенных промежутках, доказанную впоследствии Кантором.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 24 допускает следующую переформулировку, полезную для доказательства расходимости конкретных последовательностей.
Теорема 25. Для расходимости последовательности (xn) необходимо и достаточно чтобы существовало число " > 0 такое, что 8N 2 N нашлись бы номера n > N и p 2 N; для которых выполнялось бы неравенство
jxn+p - xnj ":
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
