Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5135 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
8.08 Mб
Скачать
☆

1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn = 1 +

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3!

1 - n 1 - n + +

 

 

 

= 1 + 1 + 2! 1 - n +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ k! 1 - n 1 - n

1 -

n

+ +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 -

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ n! 1 - n 1 - n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

n - 1

 

xn+1 = 1 + n + 1

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1 + 1 + 2!

1 - n + 1

+ 3!

1 - n + 1

1 - n + 1 + +

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

+ k! 1 - n + 1 1 - n + 1 1 - n + 1 + +

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k - 1

 

 

 

 

 

 

 

+ n!

1 - n + 1 1 - n + 1

1 - n + 1 +

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - n + 1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

+(n + 1)! 1 - n + 1 1 - n + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Каждое слагаемое в выражении xn+1 больше соответствующего слагаемого в выраже-

нии xn; и, кроме того, у xn+1 добавляется ещё одно положительное слагаемое. Следо-

вательно, последовательность (xn) возрастающая.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2. Покажем, что последовательность (xn) - ограничена сверху. Действительно

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn = 1 +

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1 - n

+ 3!

1 - n 1 - n + +

 

= 1 + 1 + 2!

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

+ k! 1 - n 1 - n

 

1 - n

+ +

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

k - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 -

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

+ n! 1 - n 1 - n

n

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

n - 1

 

 

1

 

1

 

+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< 1 + 1 +

 

+

 

+

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

2!

3!

n!

 

 

 

 

 

 

 

< 1 + 1 +

1

+

1

 

+ +

1

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

22

2n-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 -

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1 +

 

2

 

 

 

< 1 +

 

 

 

= 3:

 

 

 

 

1 - 1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 -

 

 

 

 

 

 

First

 

 

 

2

Last

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Prev Next

Go Back Full Screen Close Quit

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn = 1 +

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1 - n

+ 3!

1 - n 1 - n

+ +

 

= 1 + 1 + 2!

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

+ k! 1 - n 1 - n

 

1 - n

+ +

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

k - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

+ n! 1 - n 1 - n

1 -

n

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

n - 1

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< 1 + 1 +

 

+

 

 

 

 

+

+

 

 

<

 

 

 

 

 

 

2!

3!

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

+ +

1

 

 

 

 

< 1 + 1 +

 

+

 

 

 

 

 

 

=

 

 

2

22

2n-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 -

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1 +

 

2

 

 

< 1 +

 

 

 

= 3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - 1

 

 

 

1 -

1

 

 

 

 

 

 

First

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Prev Next Last

Go Back Full Screen Close Quit

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn = 1 +

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1 - n

+ 3!

1 - n 1 - n

+ +

 

= 1 + 1 + 2!

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

+ k! 1 - n 1 - n

 

1 - n

+ +

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

k - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

+ n! 1 - n 1 - n

1 -

n

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

n - 1

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

< 1 + 1 +

 

+

 

 

 

+ +

 

 

 

<

 

 

 

 

 

2!

3!

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

< 1 + 1 +

 

 

+

 

 

+ +

 

=

 

 

2

22

2n-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 -

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1 +

 

 

2

 

 

< 1 +

 

 

 

= 3:

 

 

 

1 - 1

 

 

1 -

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

First Prev

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Next Last Go Back

Full Screen Close Quit

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn = 1 +

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1 - n

+ 3!

1 - n 1 - n

+ +

 

= 1 + 1 + 2!

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

+ k! 1 - n 1 - n

 

1 - n

+ +

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

k - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

+ n! 1 - n 1 - n

1 -

n

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

n - 1

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

< 1 + 1 +

 

+

 

 

 

+

+

 

 

 

<

 

 

 

 

 

2!

3!

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

+ +

1

 

 

 

 

< 1 + 1 +

 

+

 

 

 

 

 

=

 

 

2

22

2n-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 -

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1

+

 

2

 

 

< 1 +

 

 

 

= 3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - 1

 

 

1 -

1

 

 

 

 

 

 

First

Prev

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn = 1 +

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1 - n

+ 3!

1 - n 1 - n

+ +

 

= 1 + 1 + 2!

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

+ k! 1 - n 1 - n

 

1 - n

+ +

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

k - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

+ n! 1 - n 1 - n

1 -

n

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

n - 1

 

 

1

 

1

+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

< 1 + 1 +

 

+

 

 

 

+

 

 

 

<

 

 

 

 

 

2!

3!

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

+ +

1

 

 

 

 

< 1 + 1 +

 

+

 

 

 

 

 

=

 

 

2

22

2n-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 -

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1 +

 

2

 

 

< 1 +

 

 

 

= 3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - 1

 

 

 

1 -

1

 

 

 

 

 

 

First

Prev

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Показано, что последовательность (xn) - монотонно возрастающая и ограниченная свер- ху, следовательно, в силу теоремы 23, она имеет предел. Этот предел принято обозначать буквой e; т.е.

lim 1 + n1 n = e:

Можно показать, что число e - иррациональное и значение e = 2; 71828 : : : :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.2.11.Критерий Коши.

Рассмотрим вопрос об общем признаке существования предела последовательности. Заметим, что в определении 24 предела последовательности фигурирует уже тот предел,

существование которого мы только ещё хотим установить.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности