Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Решение. Покажем, что 8n 2 N : 0 < xn < 1: Доказывать это утверждение будем методом математической индукции.

I. При n = 1 неравенство 0 < x1 = верно.

II. Пусть имеет место неравенство

0< xn-1 < 1:

III.Тогда, очевидно, что

0 < xn = 1 + x2n-1 < 1 + 1 = 1: 2 2 2 2

Итак, последовательность (xn) ограниченная.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Покажем, далее, что последовательность (xn) возрастающая. Действительно

для всех n = 1; 2; 3; : : : : Следовательно, в силу теоремы 23, последовательность (xn) схо-

дится. Обозначим lim xn = a:

Тогда, переходя к пределу в равенстве

уравнение имеет два решения: a1;2 = 1: Ответ: lim xn = 1:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 29. Доказать, что последовательность

где x0 > 0 – произвольное число, сходится и найти предел этой последовательности.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 30. Дана последовательность

n радикалов

Доказать, что эта последовательность имеет предел, и найти его.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2.2.10.Число e.

и покажем, что она имеет конечный предел.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

В силу теоремы 23, для доказательства су-

ществования конечного предела этой последовательности достаточно показать что:

1.последовательность (xn) возрастающая;

2.последовательность (xn) ограничена сверху.

Доказательство.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пользуясь формулой бинома Ньютона, запишем:

1. Покажем, что последовательность (xn) -

возрастающая. Для этого запишем выражение для xn+1 и сравним его с xn :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit