Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

2.2.8.О переходе к пределу в неравенствах.

Теорема 20. Если последовательность (xn) сходится и 8n 2 N : xn 0; то

lim xn 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Метод от противного. Допустим, что lim xn = -jaj < 0:

jaj

Зафиксируем " = 2 :

условию теоремы, 8n 2 N : xn 0. Следовательно, наше предположение не верное.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание. Имеет ли место утверждение:

Нет, это утверждение не верно. Предел последовательности может быть равен нулю, и в случае, когда все члены последовательности положительны.

Пример:

xn = n1 ; 8n 2 N : n1 > 0; но lim n1 = 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 21. Если последовательности (xn) и (yn) сходятся и 8n 2 N : xn yn (xn < yn); то

lim xn lim yn:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

(lim zn 0) =)

(lim xn lim yn):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 22. Пусть последовательности (xn) и (zn) сходятся и имеют равные пределы :

lim xn = lim zn = a:

Если

8n 2 N : xn yn zn;

то последовательность (yn) сходится и её предел равен a:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Доказательство. Фиксируем " > 0.

@9N = maxfN1; N2g такое, что 8n > N : yn 2 (|a - ";{za + "})A

U"(a)

Из выделенного синим цветом следует, по определению 25, что lim yn = a:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 25. Показать, что

2n

lim n! = 0:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Очевидно следующее неравенство

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 26. Показать, что

an

lim n! = 0:

Пример 27. Показать, что

nk

lim an = 0 (a > 1):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit