Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление
.pdf
Пример 20. Найти
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
lim |
n |
+ 1 + n |
|
|
: |
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
p pn6 + 1 |
|
|
|
||||
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решение. |
Последовательности xn = |
|||||||
|
n2 |
+ 1 + n2 2 |
и yn = |
3 |
n6 + 1 бесконечно |
|||
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
большие. Для раскрытия неопределённости11 воспользуемся "Методом доминант".
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Тогда получим
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 1 + n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
n |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n6 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n4 |
1 |
+ |
1 |
q |
1 + |
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
= ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 1 + |
1 |
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n6 |
|
|
|
|
||||||||||
т.к. доминанта числителя имеет более высокий порядок роста, чем доминанта знамена-
теля n2 n4 .
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
2.2.7.2.О разности бесконечно больших
последовательностей.
Пусть xn ! 1 и yn ! 1.
Что можно сказать про предел последовательности (xn - yn)?
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
1:xn yn
2:xn yn
3:xn yn
4:xn yn
имеет.
= n2 |
+ n |
|
|
+ |
|
= xn - yn = n + ; |
||||||||
= n2 |
|
|
+ |
+1 |
||||||||||
= n2 |
+ 1 |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|||||
= n2 |
+ 5 |
|
! |
+ 1 |
|
=)xn - yn = 5 !5; 1 |
||||||||
= n2 |
! |
+1 |
|
|
|
|||||||||
= n2 |
! |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
n |
||||
2 |
|
n |
1 n-1 |
|
|
=) xn - yn = |
1 |
! 0; |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
! |
+ |
1 |
) |
|
|
|||||
|
! 1 |
|
|
|
||||||||||
= n + (-!) |
|
1 |
|
) = xn -yn!= (-1)n-1 - предела не |
||||||||||
= n2 |
! |
+1 |
|
|
|
|
||||||||
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
1:xn yn
2:xn yn
3:xn yn
4:xn yn
имеет.
= n2 |
+ n |
|
|
+ |
|
= xn - yn = n + ; |
||||||||
= n2 |
|
|
+ |
+1 |
||||||||||
= n2 |
+ 1 |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|||||
= n2 |
+ 5 |
|
! |
+ 1 |
|
=)xn - yn = 5 !5; 1 |
||||||||
= n2 |
! |
+1 |
|
|
|
|||||||||
= n2 |
! |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
n |
||||
2 |
|
n |
1 n-1 |
|
|
=) xn - yn = |
1 |
! 0; |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
! |
+ |
1 |
) |
|
|
|||||
|
! 1 |
|
|
|
||||||||||
= n + (-!) |
|
1 |
|
) = xn -yn!= (-1)n-1 - предела не |
||||||||||
= n2 |
! |
+1 |
|
|
|
|
||||||||
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
1:xn yn
2:xn yn
3:xn yn
4:xn yn
имеет.
= n2 |
+ n |
|
|
+ |
|
= xn - yn = n + ; |
||||||||
= n2 |
|
|
+ |
+1 |
||||||||||
= n2 |
+ 1 |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|||||
= n2 |
+ 5 |
|
! |
+ 1 |
|
=)xn - yn = 5 !5; 1 |
||||||||
= n2 |
! |
+1 |
|
|
|
|||||||||
= n2 |
! |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
n |
||||
2 |
|
n |
1 n-1 |
|
|
=) xn - yn = |
1 |
! 0; |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
! |
+ |
1 |
) |
|
|
|||||
|
! 1 |
|
|
|
||||||||||
= n + (-!) |
|
1 |
|
) = xn -yn!= (-1)n-1 - предела не |
||||||||||
= n2 |
! |
+1 |
|
|
|
|
||||||||
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
1:xn yn
2:xn yn
3:xn yn
4:xn yn
имеет.
= n2 |
+ n |
|
|
+ |
|
= xn - yn = n + ; |
||||||||
= n2 |
|
|
+ |
+1 |
||||||||||
= n2 |
+ 1 |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|||||
= n2 |
+ 5 |
|
! |
+ 1 |
|
=)xn - yn = 5 !5; 1 |
||||||||
= n2 |
! |
+1 |
|
|
|
|||||||||
= n2 |
! |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
n |
||||
2 |
|
n |
1 n-1 |
|
|
=) xn - yn = |
1 |
! 0; |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
! |
+ |
1 |
) |
|
|
|||||
|
! 1 |
|
|
|
||||||||||
= n + (-!) |
|
1 |
|
) = xn -yn!= (-1)n-1 - предела не |
||||||||||
= n2 |
! |
+1 |
|
|
|
|
||||||||
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Приведённые примеры показывают, что если xn ! 1 и yn ! 1, то последователь-
ность (xn - yn) может сходится, может стремится к 1 или вообще не иметь предела. Всё зависит от заданных бесконечно больших последовательностей (xn) и (yn). В этом случае говорят, что имеет место неопределённость вида (1-1). Раскрыть неопределённость вида (1 - 1) означает: в каждом конкретном случае, в зависимости от заданных бес-
конечно больших последовательностей xn и yn, решить вопрос о пределе последователь-
ности (xn - yn).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Теорема 19. Пусть xn ! 1 и yn ! 1, причём (xn) есть последовательность более высокого порядка роста чем последовательность (yn). Тогда (xn - yn) и (xn) есть эквивалентные бесконечно большие последовательности.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit